2021年高考数学命题角度研究(231)

第九章   平面解析几何

第二节　两直线的位置关系

一、考纲考情：1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

二、核心素养形成：数学运算.

三、考查角度：主要通过两直线的位置关系判断距离问题、对称问题，考查数学运算能力.

角度二　距离问题

【自主演练】

1．(2019·安庆模拟)若直线l₁：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l₂：2x＋6y－3＝0的距离为10^1/2，则m＝(               )

A．7        B.17/2          C．14       D．17     答案：B

解析：直线l₁：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l₂：2x＋6y－3＝0的距离为，所以|2m+3|/(4+36)^1/2＝，求得m＝17/2.

2．(2019·太原模拟)若直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)与原点之间的距离的最小值为()

A.5^1/2       B.6^1/2         C．2×3^1/3        D．2×5^1/3         答案：A

解析：联立，得y=2x，x+y=3，解得x＝1，y＝2. 把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得m＋2n＋5＝0，∴m＝－5－2n.∴点(m，n)与原点之间的距离d＝(m² + n²)^1/2＝[(5+2n)² + n²]^1/2＝[5(n+2)² + 5]^1/2≥，当n＝－2，m＝－1时取等号．∴点(m，n)与原点之间的距离的最小值为5^1/2，故选A.

3．“C＝2”是“点(1，3^1/2)到直线x＋3^1/2y＋C＝0的距离为3”的()

A．充要条件    B．充分不必要条件   C．必要不充分条件    D．既不充分也不必要条件  答案：B

解析：若点(1，3^1/2)到直线x＋3^1/2y＋C＝0的距离为3，则有|1+3+C|/[1²+3]^1/2＝3，解得C＝2或C＝－10，故“C＝2”是“点(1，3^1/2)到直线x＋3^1/2y＋C＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.

4．与直线l₁：3x＋2y－6＝0和直线l₂：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是____． 

答案：12x＋8y－15＝0

解析：l₂：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－3/2＝0，所以l₁与l₂平行，设与l₁，l₂等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，则|c＋6|＝|c+3/2|，解得c＝－15/4，所以l的方程为12x＋8y－15＝0.

【技法体验】 距离问题的常见题型及解题策略

1．求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．

2．解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．

3．求两条平行线间的距离．要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．