中小学数学教材三角形的稳定性的三宗罪

发布于 2021-03-28 23:16 ，所属分类：在线教育信息快讯

三角形的稳定性知识点出现在初中教材已经有六十多年了，而关于它的相关定义和结论从没有被正规的数学词典所录入，并且它本身还存在定义错误、违背常识、偷换概念、弄虚作假、否定力学结论等一系列科学研究方法上的错误问题.三角形的稳定性作为平面几何知识点至少有三宗罪.

1第一宗罪——错漏百出

以北师大版现行初中《数学》七年级下册为例，三角形的稳定性主要论述为：

三边分别相等的两个三角形全等.

由上面的结论可知，只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了.图1是用三根木条钉成的一个三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.图2是用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的，因此，四边形具有不稳定性.

“用三根木条钉成的一个三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.”这个定义存在以下一些问题：

1.欧几里得几何没有“木条、框架”这类概念.

2.作为力学模型，“它的大小和形状是固定不变的”肯定不是真实的实验结论.

3.“三角形框架”肯定不等于“三角形”；同样“四边形框架”肯定不等于“四边形”.这里要么是偷换了概念，要么是对特殊到一般的认识没有论证.

正如小学生们的疑问，红领巾是三角形，红领巾是稳定的吗？长方形是四边形具有不稳定性，长方形的面积公式S=ab还能使用吗？

4.它是一个描述性的定义，因而显得很初级，并且不符合几何本身价值.

5.画不出相应的几何图形.

三角形的稳定性知识点在浙教版现行初中《数学》八年级上册的论述为：

三边对应相等的两个三角形全等.

如图3，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可以自由转动.在转动过程中，连结另两个端点所成的三角形的形状、大小随之改变.如果把另两个端点用螺栓固定在第三根木条上（图4），那么构成的三角形的形状、大小就完全确定.

从上述实验可以看出，当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角形特有的性质.

浙教版的三角形的稳定性定义其实质是一个三角形的唯一确定性^[1]命题，同样的错漏依然存在.多边形的唯一确定性有很多命题，在此不作赘述.这里旨在说明三角形的稳定性虽然出现了六十多年，但其定义还得不到统一.

上述三角形的稳定性的合理表述应该是：把多根木条用销子链接成不同的封闭木架并施加纵向圧力.忽略弹性形变，在所有的多边形木架中，只有三角形木架的形状是不变的.其几何原理是三角形给定三边的作图题及其结论，即三角形的边边边唯一确定性：给定三边，三角形唯一确定.

那么这种多边形木架到底是指什么呢？

2第二宗罪——偷换概念

现在我们知道，三角形的稳定性来源于静定结构学.钱令希编1952年版《静定结构学》有关于桁架组织的基本原理^[2]：

又如三个构件用三个铰相互联结（如图5）总的自由度该是3×3－3×2=3.这和一个单构件的自由度相同，这说明铰接三角形本身是稳定的，这就是以后将叙述的桁架组织的基本原理.

静定结构学桁架组织的基本原理可以表述为：三个构件用三个铰相互联结的铰接三角形本身是稳定的.北师大版三角形的稳定性定义其实就是该原理错误的转述.

结构力学还涉及到刚架、拱等等诸多内容.刚架：由梁和柱等直杆全部或部分采用刚性连接组合而成的结构，称为刚架（或框架）^[3].刚架与桁架存在本质区别.简单地讲，组成桁架的杆件之间的角度是可变的，而组成刚架的杆件之间的角度可以不变.

例如三角形的确定性命题：给定两边和夹角，则三角形唯一确定.给定夹角，在结构力学上就是将两个杆件刚接，以保证其夹角始终不变.两边加固定夹角所组成的新的构件或几何图形，即固定角∠ABC的折线图形AB·BC（图6）是不变的，也就是具有稳定性.在固定角∠ABC的折线图形AB·BC基础上，其它杆件连接点即便都采用铰接方式，所组成的三角形ABC（图7）和四边形ABCD（图8），其形状都是不变的，都具有稳定性.图8的四边形ABCD形状具有不变性，其依据则是四边形的确定性命题：给定四边和一角，则四边形唯一确定.当然，在结构力学上，它所遵循的原理依然是三角形规则.不知道初中数学教材是有意还是无意，自始至终对刚接辟而不谈，以至于得出了一些似是而非的违反常识的结论.

可以看出，前述提出的“多边形木架到底是指什么”在结构力学上来讲就是铰接多边形.这也说明平面几何所谓的三角形的稳定性其实是一个结构力学概念.平面几何同样没有“铰接”概念，而科普书籍和初中数学教材不作深究便宜行事，用“三角形、四边形”替代结构力学上的“铰接三角形、铰接四边形”.细思极恐，在逻辑上讲这是典型的跨学科偷换概念.

结构力学概念也不是不能转化为几何概念.比如，我们可以把铰接三角形木架、铰接四边形木架这类力学模型所对应的几何图形称之为链式多边形^[4].边长不变而角度可以改变的多边形叫做链式多边形；或者，我们把角度可以改变的多边形叫做链式多边形.在所有链式多边形中，只有链式三角形的形状是不变的.链式三角形的这个性质叫做链式三角形的不变性^[5].其几何依据是三角形的作图题：给定适合的三边作三角形，所求作的三角形是唯一的.由此得出三角形的确定性命题，给定三边，三角形唯一确定.显见，三角形的稳定性与两个三角形全等判定命题“三边对应相等的两个三角形全等”无关.一个合理的结论就是，作为几何图形，链式三角形具有不变性，链式四边形具有可变性.日常之中，最典型的链式多边形是自行车键条，其形状是可变的.

勒洛三角形是一种特殊三角形，有其明确定义.同样，链式三角形、链式四边形也是特殊的多边形，需要重新定义及命名.

3第三宗罪——弄虚作假

《中国大百科全书·力学》^[6]给出了刚接四边形（图9）.如果将刚接四边形也盗称为四边形，那么说明并不是所有的所谓“四边形”都存在“四边形没有稳定性”结论.初中数学教材有关三角形的稳定性存在违反常识、造假等现象.

以现行人教版八年级数学上册第6页小章节三角形的稳定性为例，其相关论述为：

图10将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

图11将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

图12在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，这时的形状还会改变吗？为什么？

可以发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变.这就是说，三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性.

现行人教版八年级数学上册第36页讲了一个力学实验：

我们曾经做过这样的实验:将三根木条钉成一个三角形木架，这个木架的形状、大小就不变了.就是说，三角形三条边的长度确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了.

对比这两处内容，可以看出明显的弄虚作假：

1.前述“形状会改变吗”只有一个实验项目，而后述“我们曾经做过这样的实验”却涉及“形状、大小”两个实验项目.

2.这个力学实验必定会产生弹性形变，所谓“大小就不变”是不可能结论.

3.由力学模型得出几何命题，是几何的进步还是退步？

现行人教版八年级数学上册以一小章节的篇幅论述三角形的稳定性，说的越多其错误也越严重.尤为严重的是，近几年三角形的稳定性知识点不幸进入了小学四年级数学教材，对小学数学正常教育产生干扰.

图13现行人教版小学四年级数学下册举例三角形车架自行车.但是这个三角形车架应该是刚接，与三角形的稳定性无关；并且很大部分自行车车架都是四边形车架（如图14），以及V型U型车架.这里涉及错误举例和选择性举例.

图15现行人教版八年级数学上册举例半刚接屋顶钢架，之前也没有介绍什么是刚接.这里还存在一个宏大的企图，极力否定结构力学上的刚接这一科学结论.细思极恐，平面几何三角形的稳定性来源于结构力学，现在却反过来否定结构力学主要科学概念和结论.

4我们必须知道，我们必将知道

千里之堤毁于蚁穴.三角形的稳定性的基本定义错了，其所涉及的相关论述肯定就错了，并且或多或少在有意无意中还存在造假现象.三角形的稳定性知识点很遗憾地没有建立起良好的开端，后期以讹传讹并违背科学研究方法和原则孳乳扩充一些非科学性内容.让人痛心的是，三角形的稳定性始终错误地停留在教材上不作更正，并且对平面几何认知的不足已经引起了结构力学基本原理认知的混乱.值得注意的是，该知识点是中国大陆独有而其它国家和地区所没有的平面几何内容，独有的若没能做好，是会让人轻视的.

公元前300年古希腊欧几里得著作了《原本》.欧几里得在有限个数的公理、定义、公设的基础上创立了几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范.可以说，这个典范是近现代各个学科创立理论的范本.两千多年以来，《几何原本》一直是学习几何的主要教材，是最成功的一部教科书.

1607年明代数学家徐光启与利玛窦把该书的前6卷平面几何部分合译成中文，并改名为《几何原本》.后9卷是1857年由中国清代数学家李善兰和英国人伟烈亚力译完的.显见，即便是《几何原本》的翻译工作，也经历了从明代到清代的二百多年的几代人才完成.可想而知，这无疑是一个极其艰辛的过程.

学习欧几里得几何不仅仅只是学习平面几何知识，而且也学习了有着严密理论系统和科学方法的数学演绎体系；而中小学数学有关三角形的稳定性错误知识点是对平面几何这一学习目的的严重干扰和破坏.虽然中小学数学的教学目的还要求理论与实践相结合，利用所学知识解决实际生活生产中的简单问题，但理论一定要严谨合理，实践结论不能违背常识. 中小学数学教科书都有重大错误，国家怎么能够成为教育强国呢？

科学，既然是科学，必定要讲求实事求是原则和理性原则的科学精神，必定要讲求精益求精的工匠精神.整理过欧几里得几何学从而构建纯粹演绎系统的德国数学家希尔伯特，其墓碑上刻写着他的名言：我们必须知道，我们必将知道.

参考文献：

[1] 张忠斌.三角形的确定性问题探究[J].中学数学(初中版)，2017(5):78—79.

[2] 钱令希编.静定结构学[M].中国科学图书仪器公司，1952:18—31.

[3]刘金春主编.结构力学[M].华中科技大学出版社，2008:26—47.

[4] 张忠斌.链式多边形与三角形的稳定性的理想模型[J].中学数学(初中版)，2018(1):58—59.

[5] 张忠斌.静定结构学与三角形的稳定性的来源及其表达[J].中学数学(初中版)，2018(9):64—66.

[6] 《中国大百科全书》编辑委员会编.中国大百科全书力学[M].北京：中国大百科全书出版社，1985:241—242.

作者及省份：小小雨哗，湖北省，本文只代表作者本人观点，不代表本公众号观点