2021年太原市一模数学选题解析

此次太原一模的出题还不错，难度和区分度都有，太原一模文理试卷以及参考答案在本次推送的第三篇给出，本次选题如下：

分析：题目考查正四面体中的常用结论，如果熟知这些结论，就知道题目给出的侧面与底面夹角余弦值为1/3恰好满足三棱锥是正四面体，正四面体可补成正方体，外接球球心在正方体体对角线的交点处，E是棱上的四等分点，过E点的平面与外接球的截面永远是一个圆，当过E的圆面过球心时，此时面积最大，当E点恰好是圆面的圆心时，此时截面圆面积最小，作一些简单的解释，若过E点的圆面圆心不是E点，设为M点，则圆面的半径与外接球的半径和球心到M点的距离有关，在直角三角形中，球半径为定值，当OM最大时截面圆半径最小，而OM最大时M点和E点重合，解题时可将立体转化为平面，若求截面圆的最小面积，即需求出外接球半径和球心到E点的距离，这算是本次考试中最有价值的一个题目。

分析：第11题明显比第10题差多了，11题考查抛物线焦点弦中的常用结论，知道过焦点直线的斜率，可直接求出AB，AF，BF，另外过抛物线焦点弦中点且以焦点弦为直径的圆与准线相切，文科卷中也出现了类似的结论题目，过程类似，不再给出。

分析：第12题改编自2016年全国1理科第12题，这种题目现在来看属于老掉牙的题目了，用对称轴和对称点的距离确定ω的类型(奇数)，用所给区间确定ω的范围，再一一验证即可。

分析：题目中只给出角度，要求离心率，则需要从焦点三角形中确定出边长和底面的长度关系，条件中给出的∠MFN=120°可确定出焦点三角形的顶角为60°，给出的过原点直线的倾斜角可用来确定出M点横纵坐标之间的关系，也可用来直接求出OM的长度，题目一开始用面积相等来做，这样需要求出OM的长度，但这样做即便得到一个关于a,b,c的等式，只可惜解不出来，若设出M点坐标，根据面积相等可求表示出M点的坐标，带入原椭圆方程化简可求离心率的值。

分析：本题是一个很不错的题目，很难得不是那种常见的口水题，第二问证明定值时将对应长度转化为对应点的纵坐标，去掉绝对值符号为-(y0/y1+y0/y2)，若直接通分，则需转化为x1+x2,y1y2的形式，就需设AB的方程，这并不能直接与条件中两直线过焦点联系起来，因此考虑分别将y0/y1和y0/y2表示出来，若分别设出AP，BP的方程，此时两直线方程中各自存在一个参数，直线与椭圆联立后不可将y0,y1用参数表示出来，否则相加之后依旧不是定值，因此要用同一个量表示出y0/y1和y0/y2，即P点的横坐标，所以下面转化的时候将各自的参数m,n转化为x0和y0的形式，如下：

上方可用m表示出y0+y1和y0y1，两式相除之后左侧上下不齐次，不可直接转化为y0/y1，将右侧m替换下正好可以约去左侧分母中的y0，这样就可以用x0表示出y0/y1的值，y0/y2同理，相加之后可消去x0

分析：三角与导数结合的题目很多见了，处理时注意三点，一是特殊的点处的函数值，二是将三角函数放缩为一次函数或常数，三是将区间切割成使三角函数具有保号性的几个区间。

其实本题目能很轻易的猜出a的取值范围，因为f(0)=0,以-π/2≤x<0为例，若左侧单增即可满足，当然不单增也有满足恒成立的可能性，因此解题时可用这点先确定出a的取值范围，再证明在此范围上符合恒成立要求即可，参考答案中也是用到了这种类似端点效应的解法，我下面的解析过程和参考答案不同，如下：

注意f(x)有参数a,但满足f(0)=0,f'(x)中有参数a，且端点处函数值正负不确定，单调性不确定，f''(x)中没有参数，且满足f''(0)=0，但单调性不确定，f'''(x)中不含参数，且能直接判断出单调性，因此从f'''(x)推导f''(x)，再推导f'(x)的增减趋势，根据恒成立找到符合要求的条件即可。

题目还不错，有点2019年全国一理科数学导数压轴的味道。

此次一模文科数学难度一般，不再给出解析，文理试卷以及答案的电子版见本次推送的第三篇文章。