再探究2021年福建省中考数学试题第24题(解法再增加)六种解法

24.（12分）如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A'，AA'的延长线交BC于点G

（1）求证：DE//A'F；

（2）求∠GA'B的大小；

（3）求证：A'C=2A'B

【分析】

本小题考查正方形的性质、轴对称的性质、多边形内角与外角的关系、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形中位线定理、圆的基本概念与性质、解直角三角形等基础知识，考查推理能力、运算能力，考查空间观念与几何直观，考查化归与转化思想（满分12分）.

解:(1)设直线DE与AA'相交于点T，

∵点A与A'关于DE对称,

∴DE垂直平分AA',即DE⊥AA'，AT=TA'.

∵E,F为AB边上的两个三等分点，

∴AE=EF.

∴ET是△AA'F的中位线，

∴ET//A'F，即DE//A'F.

【解法1】（来自试卷参考答案）

【解法2】

【解法3】

【解法4】

【解法5】

【解法6】

【分析】延长BA'交DE于N，可证明△BEN≌△CGA'

解：延长BA'交DE于N，

由以上解法可知∠CA'G=∠GA'B=45°

∵A'F⊥AG，∠GA'B=45°

∴∠BA'F=45°

∵DE//A'F

∴∠BNE=∠BA'F=45°

∴∠BNE=∠CA'G

∵DE//A'F，EF=BF

∴A'B= NA'

∴BN=2 A'B

由（2）小题可知△ADE≌△BAG，BE=CG

∴∠AED=∠BGA

∴∠BEN=∠CGA'

∴△BEN≌△CGA'

∴CA'=BN

∴CA'=2 A'B

对本题的再思考：连接AC后，则有以下的两个结论成立：

①△AA'B∽△A'CA

② A'A2=A'BxA'C

不难得出，如果延长CA'交AB于点M，则AM=BM