【深耕中考】平行四边形存在性问题

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1.问题与方法

考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：

性质1：对应边平行且相等；

性质2：对角线互相平分．

这是图形的性质，将其性质运用在在坐标系中：

性质1：对边平行且相等可转化为：

可以理解为点B移动到点A，点C移动到点D，移动路径完全相同．

性质2：对角线互相平分转化为：

可以理解为AC的中点也是BD的中点．

当AC和BD为对角线时，结果可记为：“A+C=B+D”．

以上是对于平行四边形性质的分析，而要求证的是平行四边形存在性问题．即：若坐标系中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D” ，则四边形ABCD是否一定为平行四边形？

答案是否定的，反例如下：

分类讨论

（1）四边形ABCD是平行四边形：AC、BD一定是对角线．

（2）以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．

2.题型分析

首先判断是否存在确定的平行关系：

（1）若存在平行关系，考虑构造线段相等；

（2）若不存在平行，以动点个数为标准分类，可再分为“三定一动”和“两定两动”两类题型．

（1）已知平行构造相等

（2）三定一动

（3）两定两动

3.动点探究

（1）全动点与半动点

“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标均不确定，需要用两个字母表示，这样的点称为“全动点”，而当动点在坐标轴或已知直线或已知抛物线上时，用一个字母即可表示点坐标，这样的点称为“半动点”．

（2）未知量

从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．

（3）题型设计

特殊图形的存在性问题最多可以有几个未知量，都是由图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：

①对边平行且相等；②对角线互相平分．

统一成一组方程组：

两个方程，最多有两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．