彭光焰解题研究:高中数学中的三角代换解题例说

三角代换解题例说

彭光焰（广水市一中，湖北 432700）

在中学数学里，许多数学问题，若把它们进行三角代换，则往往能够收到化繁为简、化难为易的效果.这是因为进行了三角代换之后，把非三角问题转化成了三角问题，而三角里恒等式和公式众多，正弦函数和余弦函数的有界性以及三角函数的周期性都能帮助我们解题，什么类型的题目可以采用三角代换来解决，取决于题目的结构特点，由所给的题目的结构特点而选择适当的三角公式进行代换.

数学解题过程，实际上就是不断变换问题的过程，代换是数学解题中普遍采用的一种思想，实现代换是发展理论和解决问题的关键.本文通过例题谈谈三角代换在解题中的应用.

1解方程

从前面例2、例3可知，有些方程，若用代数法解，较繁难；若进行三角代换，借助三角知识求解，则简捷.

2 解不等式

证明 这是一道纯代数题，若采用通分的方法，将是十分繁杂的.但若与“在三角形ABC中，tanA+tanB+tanC= tanAtanBtanC”进行类比，就可发现二者在形式上很相似，这启发我们，可采用三角方法证明.

【作者简介】彭光焰，男，1989年6月毕业于华中师范大学数学系，正高级教师，湖北省特级教师。湖北省广水市第一高级中学副校长。2018年荣获中学数学教育最高奖“苏步青数学教育奖”，湖北省优秀中学数学教师，湖北省骨干教师，湖北省教育科学研究学术带头人，享受湖北省人民政府和随州市人民政府津贴专家，随州市首批学科带头人，随州市首批十大名师。随州市教研室高中数学兼职教研员，随州市高中数学学科核心团队成员，湖北省高中数学名师工作室和随州市高中数学名师工作室主持人，曾被华中师范大学聘为华中师范大学免费师范生导师，曾被《语数外学习》编辑部聘为编委。随州市第一届、第二届政协委员，广水市第五届、第八届政协委员。自1988年4月28日至今，先后在《中国教育报》《数学通报》《中学数学教学参考》《数学通讯》《中学数学》等全国30余家省级以上报刊发表文章160余篇，其中在核心期刊发表论文32篇，主持各级课题5项，参编高中数学教学用书6册，获地级以上教科研成果奖38项。

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