中考数学压轴题分析:正方形十字模型

（2021•福建）如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G．
（1）求证：DE∥A′F；
（2）求∠GA′B的大小；
（3）求证：A′C＝2A′B．

【分析】

1）设AG与DE的交点为O，易得点O为AA′的中点，点E为AF的中点，可以得到OE是中位线，因此结论成立．
（2）先猜测再证明，由（1）可得∠AF′G＝∠FBG＝90°，那么点F，B，G，A'四点共圆，连接GF，可以得到∠GA′B＝∠GFB＝45°．
（3）根据两边对应成比例且夹角相等证明△A'FB∽△A'GC，得到相似比为1:2即可．

【答案】

解：（1）如图，设AG与DE的交点为O，连接GF，

∵点A关于DE的对称点为A′，
∴AO＝A'O，AA'⊥DE，
∵E，F为边AB上的两个三等分点，
∴AE＝EF＝BF，
∴DE∥A'F；
（2）∵AA'⊥DE，
∴∠AOE＝90°＝∠DAE＝∠ABG，
∴∠ADE+∠DEA＝90°＝∠DEA+∠EAO，
∴∠ADE＝∠EAO，
在△ADE和△BAG中，