高中数学------考点37 利用导数解决综合问题

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【基础回顾】

一、课本基础提炼
1.理清导数与函数单调性的关系
　(1)f'(x)＞0(或＜0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；
　(2)f'(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f'(x)=0不恒成立)．

2.求函数y=f(x)的极值的方法：
解方程f'(x)=0，当f'(x₀)=0时
　（1）如果在x₀附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x₀)是极大值；
　（2）如果在x₀附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x₀)是极小值．

3．求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：
　（1）求函数y=f(x)在(a,b)内的极值；
　（2）将函数的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)相比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

4.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
　(1)建模:分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).
　(2)求导:求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0.
　(3)求最值:比较函数在区间端点和使f'(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.
　(4)作答:回归实际问题作答.

二、二级结论必备
1.若三次函数f(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)有3个不同零点，则；

2.若三次函数f(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)有2个不同零点，则；或；

3.若三次函数f(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)有1个不同零点，则函数无极值或f(x)_极大值＜0或f(x)_极小值＞0；

【技能方法】

1. 利用导数研究方程根（或函数的零点）的问题
　　在利用导数研究函数的单调性、极值、最值的基础上,画出函数的草图,结合图象的变化趋势,研究方程的根（或函数的零点）问题.
　　例1.已知函数f(x)=x²-21n x,h(x)=x²-x+a.
　（1）求函数f(x)的极值；
　（2）设函数k(x)=f(x)-h(x)若函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
【解析】
　　（1）f(x)的定义域是(0,+∞)，，得x=1x∈(0,1)时，f'(x)＜0，x∈(1,+∞)时，f'(x)＞0，所以f(x)在x=1处取得极小值1；
　　（2）k(x)=f(x)-h(x)=x-12n x-a (x＞0),所以，令k'(x)＞0得x＞2,所以k(x)在(0,2)递减，在(2,+∞)递增∴所以1-21n2＜a≤3-21n3
【点评】
　（1）首先计算函数的导数，由导数为零可得到极值点，进一步计算出极值；
　（2）中函数有两个零点转化为函数的最大值最小值与零的大小关系，本题中k(x)在(0,2)递减，在(2,+∞)递增，因此需满足极小值为负，两端点出为正，图像与x轴才有2个交点利用导数解决生活中的优化问题.以生活中的实际问题、几何问题等为背景,构造函数模型,转化为利

2.用导数研究函数的最值问题.
　　例2.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式其中3＜x＜6为常数。
己知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
　（1）求a的值；
　（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
【解析】
　（1）因为x=5时，y=11，所以,a=2
　（2）由（1）可知，该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得利润
从而f'(x)=10[(x-6)²+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6)于是，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表

由表知，x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.所以当x=4时，函教f(x)取得最大值，且最大值为42.
【点评】
　　利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：
　(1)建模:分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).
　(2)求导:求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0.
　(3)求最值:比较函数在区间端点和使f'(x)=0.的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.
　(4)作答:回归实际问题作答.

【基础达标】

1.函数f(x)=ax³-x²+x-6在(-∞,+∞)上既有极大值又有极小值，则a的取值范围为(　　）
　A．a＞0　　　B.a＜0
　C．　　D．
【答案】D
【解析】
　　因为函数f(x)=ax³+x²+x-6在(-∞,+∞)上既有极大值又有极小值，所以f'(x)=2ax²-2x+1=0有两个不等实根，则,解得且a≠0.

2.【2015山东威海市二模】设f'(x)为函数f(x)的导函数，已知x²f'(x)+xf(x)=1n x，则下列结论正确的是（　　）
　A.f(x)在(0,+∞)单调递增　　　B.f(x)在(0,+∞)单调递减
　C.f(x)在(0,+∞)上有极大值　　D.f(x)在(0,+∞)上有极小值
【答案】B
【解析】
　　∵x²f'(x)+xf(x)=1n x，，即，设，即又，得c=1/2，即所以，所以f(x)在(0,+∞)单调递减.

3.设a∈R，若函数y=x+a1n x在区间有极值点，则a的取值范围为（　　）
　A．　　　　　　　　B．
　C.　　D．
【答案】B
【解析】
　　，y'为单调函数，所以函数在区间有极值点，即，代入解得解得a取值范围为．

4.已知函数在[t,t+1]上不单调，则 的取值范围是（　　）
　A．(0,1)∪(2,3)　　B．(0,2)
　C．(0,3)　　　　　 D．(0,1]∪[2,3)
【答案】A
【解析】
　　，所以当x∈(0,1)(3,+∞)时，原函数递增，当x∈(1,3)原函数递减；因为在[t,t+1]上不单调，所以在[t,t+1]上即有减又有增，所以或，∴0＜t＜1或2＜t＜3，故选A.

5.设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为(　　)
　A.　　B.　　C.　　D．　　
【答案】C
【解析】
　　设底面边长为x，则表面积，令S'=0，得唯一极值点.

【能力提升】

1.已知f(x)=x³-3x，过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，则实数 的取值范围是（　　）
　A.（-1，1）　　B．（-2，3）
　C．（-1，2）　 D．（-3，-2）
【答案】D
【解析】
　　设切点为(t,t³-3t)，且f'(x)=3x²-3,则切线方程为y=(t³-3t)=(3t²-3)(x-t)整理得y=(3t²-3)x-2t³把A(1,m)代入整理得:
2t³-2t²+m+3=0①因为可作三条切线,所以①有三个解；记g(t)=2t³+m+3，则g'(t)=6t²-6t=6t(t-1),当t＜0或t＞1时，g'(t)＞0；当0＜t＜1时，g'(t)＜0；所以当t=0时,极大值为g(0)=m+3,当t=1时,极小值为g(1)=m+2；要使g(t)有三个零点,只需，解得-3＜m＜-2.

2.【2015豫晋冀二模】设函数f(x)=x³-2ex²+mx-1n x，记，若函数g(x)至少存在一个零点，则实数a的取值范围是(　　)
　A．　　B．
　C．　　D．
【答案】A
【解析】
　　∵f(x)=x³-2ex²+mx-1n x的定义域为(0,+∞)，又，∴函数g(x)至少存在一个零点可化为函数f(x)=x³-2ex²+mx-1n x至少有一个零点，即方程f(x)=x³-2ex²+mx-1n x=0有解，∴，∴，∴当x∈(0,e)时，m'＞0，当x∈(e,+∞)时，m'＜0，∴在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，∴，又∵当x＞0,x→0时，．

3.【2015高考新课标1，理12】设函数f(x)=e^x(2x-1)-ax+a,其中a＜1，若存在唯一的整数x₀，使得f(x₀)＜0，则a的取值范围是（　　）
　A.　　B.
　C.　　D.
【答案】D
【解析】
　　设g(x)=e^x(2x-1)，y=ax-a，由题知存在唯一的整数x₀，使得g(x₀)在直线y=ax-a的下方.因为g'(x)=e^x(2x+1)，所以当时，g'(x)＜0，当时，g'(x)＞0，所以当时，，当x=0时，g(0)=-1，g(1)=3e＞0，直线y=ax-a恒过（1,0）斜率且a，故-a＞g(0)=-1，且g(-1)=-3e^-1≥-a-a，解得，故选D.


4.设，若f(x)在上存在单调递增区间，则实数 的取值范围为(　　)
　A．　　B．
　C．　　 D．不存在
【答案】A
【解析】
　　，∵f(x)在上存在单调递增区间，∴存在的子区间(m,n)，使得x∈(m,n)时，f'(x)＞0.∵f'(x)在上单调递减，∴，即，解得，∴当时，f(x)在上存在单调递增区间．

5.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为．
【答案】9万件．
【解析】
　　求出函数的导函数，由导函数等于0求出极值点，结合实际意义得到使该生产厂家获取最大年利润的年产量．
解：由，得：y'=-x²+81，由y'=-x²+81=0，得：x₁=-9(舍），x₂=9．当x∈(0,9)时，y'＞0，函数为增函数，当x∈(9,+∞)时，y'＜0，函数为减函数，所以当 时，函数有极大值，也就是最大值，为252万元．所以使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．

【终极突破】

1.【2015届山东省潍坊市联考】设函数y=f(x)在区间(a,b)上的导函数为f'(x)，f'(x)在区间(a,b)上的导函数为f''(x)，若区间(a,b)上f''(x)＞0，则称函数f(x)在区间(a,b)上为“凹函数”，已知在 上为“凹函数”，则实数m的取值范围是（　　）
　A．　　B．　　C．　　D．(-∞,5)
【答案】C
【解析】
　　由已知条件得，则f''(x)=x³-mx²-4，所以x³-mx²在(1,3)恒成立，则，因为在(1,3)递增，所以，所以m≤-3.

2.f(x)是定义在D上的函数, 若存在区间， 使函数f(x)在[m,n]上的值域恰为[km,kn]，则称函数f(x)是k型函数．给出下列说法:
　①不可能是 型函数；
　②若函数是3型函数, 则m=-4，n=0；
　③设函数f(x)=x³+2x²+x(x≤0)是k型函数, 则k的最小值为4/9；
　④若函数是1型函数, 则n-m的最大值为．
下列选项正确的是（　　）
　A．①③　　B．②③　　C．②④　　D．①④
【答案】C
【解析】
　　由题意知k＞0，m＜n．
　　对①若是 型函数，因为f(x)在区间(-∞,0)与(0,+∞)上都是增函数；所以方程有两个不同的非零实根，即方程kx²-3x+4=0有两个不同的非零实根，所以当△=9-16k＞0，且k＞0时，即时，方程kx²-3x+4=0有两个不同的正实数根m,n(m＜n)，这时f(x)在[m,n]上的值域恰为[km,kn]，所以函数是k型函数，故①错误．
　　对②，若函数是3型函数, 则存在区间[m,n]，使函数f(x)在[m,n]上的值域恰为[3m,3n]，函数的对称轴是x=1，下面分三种情况讨论：
　　（1）当m≥1时，函数在[m,n]上的值域为，所以有，以上两式相减得到，因为m＜n，所以n+m=8，即n=8-m，所以，整理得m²-8m+48=0，此方程无实数根；
　　（2）当m＜1,n≥1时，有，即n=1/6，矛盾；
　　（3）当n＜1时，有时，可得
综上所述，②正确．
　　对③，函数f(x)=x³+2x²+x(x≤0)是k型函数, 利用导数知识可得f(x)x³+2x²+x(x≤0)在区间上是减函数，在区间上是增函数，若n=0，且则函数在区间[m,n]上的最大值为0，最小值为，要使，只要取，显然这时，且函数f(x)在[m,n]上的值域恰为[km,kn]，所以k的最小值不是4/9，因此③不正确．
　　对④， 若函数是1型函数, 则有两个不同的非零解，即a²x²-(a²+a)x+1=0有两个不同的非零解m，n．由△＞0得a＜-3或a＞1，所以（当a=3时取等号），所以n-m的最大值为．

3.【2015海南省海南中学】对于函数f(x)，若对于任意的x₁,x₂,x₃∈R，f(x₁),f(x₂),f(x₃)为某一三角形的三边长，则称f(x)为“可构成三角形的函数”．已知函数是“可构成三角形的函数”，则实数 的取值范围是（　　）
A．　　B．[0,1]　　C．[1,2]　　D．(0,+∞)
【答案】A
【解析】
　　由已知得f(x)＞0，f(x₁)+f(x₂)＞f(x₃)∴2f(x)_min＞f(x)_max，
∵，
当t＞1时，由e^x＞0得，∴，∴2×1≥t，t≤2；当t=1时，f(x)=1显然符合题意；当t＜1时，t-1＜0，，∴t＜f(x)＜1，∴2t≥1，．综上所述：

4.已知函数f(x)=x(1n x-ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是．
【答案】
【解析】
　　f(x)=x(1n x-ax)(x＞0)，f'(x)=1n x+1-2ax．令g(x)=1n x+1-2ax，
∵函数f(x)=x(1n x-ax)有两个极值点，则g(x)=1n x+1-2ax=0在区间(0,+∞)上
有两个实数根．，当a≤0时，g'(x)＞0，
则函数g(x)在区间(0,+∞)单调递增，因此g(x)=0在区间(0,+∞)上不可能
有两个实数根，应舍去．当a＞0时，令g'(x)=0，
解得．令g'(x)＜0，解得，此时函数g(x)单调递增；
∴当时，函数g(x)取得极大值．当x趋近于0与x趋近于+∞时，g(x)→-∞，
要使g(x)=0在区间(0,+∞)上有两个实数根，则，
解得．∴实数a的取值范围是.