初中数学第一课

一、什么是数学？

百度百科对数学的定义是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。

有人觉得数学很难，难就难在抽象；有人觉得数学很简单，因为高度抽象，所以有了直击本质之简洁美。

举个例子。一个人，一块黑板，一个苹果，一个桃子......我们都用1来表示，你写出1+1=2，可以赋予无数背景，可是问题来了，1+1=2要成立，有没有什么条件和要求呢？1吨水+1千米=？有同学说单位不统一不能加，那1条狗+1条鱼=？又有同学说必须同类事物相加，那好，曲江池先游来一群锦鲤，又游来一群锦鲤，那一群锦鲤+一群锦鲤=？答案居然还是一群锦鲤。难道1+1=1？问题出在哪里了？如果有问题，问题在哪里呢？要想找到答案，就必须理解1的含义，要明白被抽象的1所代表的的量，以及加法到底是一种怎么的运算？（关于这些问题，我们后面慢慢讨论）大家也可以从这个问题出发，追溯数学的漫漫发展之路。建议大家带着问题去探求和查找资料。

从最简单的1+1=2出发，我们发现居然不能自圆其说了，这就意味着我们对每一个符号的理解不够深刻。缺乏深度的学习是容易遗忘和难以迁移的，停留在表面的学习也是枯燥的，就好像每顿你都吃同一道菜，乏味至极。所以枯燥的不是数学本身，而是你的方法不对。有人说，这世界上只有两种人，一种是热爱数学的，一种是不知道自己热爱数学的。如果你属于后者，那就改变固有思维模式，成为第一种人。

二、从小学数学到初中数学

你小学数学都学了什么呢？从体系上说，和初中一样，也是四大板块，数与代数，空间与图形，统计与概率，综合与实践。从具体内容来看，小学学习了整数、小数、分数，加减乘除四则运算,计算图形的周长和面积。如果把这些内容再进行概括，就是运用确定的数字,经过确定的计算方法，找到确定的答案。

例如销售问题，小学生需要解决的问题是，某件物品3元，买若干件的总价格，在此基础上，打折加价问利润等等。进人初中阶段以后,情况就不同了,需要计算的是每时每刻都在变化的数量间的关系。举一个实际例子:假如你是一家小店的老板,对你而言,最有利的事情就是赚到更多的钱，但是每天能赚到的钱数根本不由你控制,它是由每一件商品赚的钱乘以客户购买这些商品的数量来决定的,而每天来的客户数也不受你控制,虽然客户数和总的利润不由你说了算,但是,商品的价格是由你说了算的,一般来说,商品卖得越便宜,客户来得就越多;商品卖得越贵，客户来得就越少。也就是说,客户数量由商品价格决定,而总利润又由商品价格和客户数量决定,所以就可以认为总利润也是由商品价格决定的，是不是商品卖得越便宜赚钱越多呢?显然不是,假设每件商品的利润润都为0,那么无论有多少客人来,都赚不到一分钱.同样,假如把商品的价格定得过高,虽然单件商品的利润有了,但是如果没有客户来买货,同样赚不到钱.怎样才能赚到最多的钱呢?这个就是初中数学所要解决的问题之一。

小学数学可以让我们认识世界,但初中数学却可以让我们改变世界,要计算确定的数字，直接使用数字和加减乘除就可以了。但我们要计算变化的数字,就不能直接使用1、2、3、4、5这些数字了,我们就需要使用 a 、b、 c 或 x 、 y 这样的字母来表示一个尚不确定的数字,因为我们要使用字母代替数字,所以这样的数学也叫作代数,代数会带给我们一—种全新的思维方式,它让我们拥有了改变世界的能力,我们通过代数学掌握了变化的数量的规律,就可以通过改变那些我们能控制的变量,对其他的变量施加影响，这样就能轻松地驾驭那些每时每刻都在变化的数量,达到改变世界的目的。

我们生活的这个世界每时每刻都在运动变化之中,我们也无时无刻不在驾驭变化:在骑自行车的时候,车子的速度、方向、角度、位置每时每刻都在发生变化,但是我们却能轻松地驾驭,不但能让车子不倒,而且能以最快的路径、最轻松的姿态到达目的地,掌操了初中数学,我们就能够像骑车一样,轻松应对这个不断变化着的世界,使它逐步发展成我们所期望的样子.

柏拉图说:“我们在大自然的真理面前,不过是井底之蛙,我们通过自己的眼睛看到的大千世界,都只不过是真理通过井口投在井底的影子而已.”而每一个人生存的目的,就是为了通过分析这些影子,来发现大自然的真相,我不知道,世界是不是柏拉图所说的样子,但我唯一知道的是,如果世界真的是这个样子的话,那么数学就是大自然留下的最为清晰、最为深刻的影子!

三、如何把初中数学学好

学好数学的关键是建构良好的数学思维体系，那么，我们应该如何训练自己的思维呢？在说这个问题之前，我们先来追溯一下勾股定理（西方人叫做毕达哥拉斯定理）。

很多同学们对定理内容的认识主要停留在“勾三股四弦五”，你有没有对这个结论有过思考和怀疑呢？

第一个疑点：这个定理是否在毕达哥拉斯之前就被发现了？

我们过去的教科书里讲，据汉朝的数学书《周髀算经》的记载，早在公元前1000年的时候，周公和商高这两个人就谈到了“勾三股四弦五”。他们的年代比毕达哥拉斯早，因此教科书中讲是中国人商高最早提出这个定理的，于是称之为勾股定理或者商高定理。

我们先不说《周髀算经》里所记载是否靠谱，就算靠谱，它也只是记载了一组勾股数（即直角三角形直角边和斜边都是整数的情况），并不能说明发现了其中的规律。因为比周公和商高早1500年，古埃及人在建造大金字塔时就已经按照勾股数在设计墓室的尺寸了。

如果再往前推，美索不达米亚人早在公元前18世纪左右就知道很多组的勾股数（包括勾三股四弦五），而且留下了实物证据。比如耶鲁大学的博物馆里就保存了一块记满勾股数的泥板。

接下来就产生了第二个疑点，古埃及和美索不达米亚为什么不去争夺这个定理的发现权呢？

简单地讲，所有这些古代文明不过是举出了一些特例而已，甚至没有提出假说。我们在后面的课程中会看到，很多时候特例中反映出的规律和后来真正的定理可能是不同的。所以，这种特例就没有意义。

如果像美索不达米亚人那样举了很多特例，而且没有发现例外，是否可以认为他们最先发现这个定理呢？答案是否定的，因为光举例子还是不够的，还需要做出一个明确的规律性的描述，这种描述我们可以把它称为命题。

一个命题在没有证明之前，只能算是猜想，比如著名的哥德巴赫猜想。而总结出一个猜想和证明定理依然是两回事，当然这是比举几个例子进了一大步了。

再接下来，猜想如何证实呢？在这一点上数学和自然科学完全不同。那么我们就要说到数学和自然科学的三个本质差别，也是这一讲最重要的三个知识点，它们能够帮助我们理解数学特殊的方法和思维方式，或者说了解数学的推理世界与我们真实的测量世界的区别。

1.测量和逻辑推理的区别

我们知道几何学源于古埃及，当地人出于农业生产的考虑，对天文和土地进行度量，发明了几何学。但是，度量出来的几何其实和真正的数学还有很大的差距。

比如说，古代文明的人们确实观察到勾股数的现象，他们画一个直角三角形，勾三尺长、股四尺长时，弦长恰好就是五尺长，于是就有了勾三股四弦五的说法。

但是这里面存在一个大问题，我们说长度是三尺，其实并非数学上准确的长度，用尺子量出来的3，可能是3.01，也可能是2.99。这样一来勾三股四弦五就是一个比较模糊的说法了。

在数学上，观察的经验可以给我们启发，但是它不能成为我们得到数学结论的依据，数学上的结论只能从定义和公理出发，使用逻辑严格证明得到，不能通过经验总结出来。

回到勾股定理，一个工匠注意到勾三股四弦五这个现象，和提出一个具有普遍意义的定理是两回事。

我们通过观察还可以发现，如果勾3.5，股4.5，那么弦大约是5.7，这个“大约”的误差只有万分之一点六左右（弦长大约是5.700887），古代任何测量都发现不了。这时如果你说勾3.5股4.5弦5.7，从物理上来说基本正确，但是在数学上就错了。这是第一个差别，就是测量会出错，但推理不会。

那么，如果我们抛开误差的影响，是否可以认为早期文明的人们发现了勾股定理呢？也不能，只能说他们观察到一些现象，而非发现了定理。这涉及到数学和自然科学的第二个主要区别，证实和证明的区别了。

2.用事实证实和用逻辑证明的区别

在自然科学中，一个假说通过实验证实，就变成了定律。比如说与牛顿同时代英国的大科学家波义耳同法国科学家马略特一同发现：一个封闭容器中气体的压强和体积成反比。这很好理解，因为体积压得越小，内部的压强肯定越大。这两个人通过很多实验，都证实了这件事，于是这个定律就由他们两个人的名字命名了。

但是，如果有一个非常爱较真的人一定要抬杠，说你们证实了所有的情况（各种体积和压强的组合）吗，你们敢保证没有例外么？波义耳和马略特肯定会说，我们不敢保证没有例外，但是这个规律你平时使用肯定没有问题。

果然，后来人们真的发现当压强特别大时，这个定律就不管用了。但是没有关系，在大多数条件下，这个定理依然成立，今天人们在做产品时，依然可以用。

事实上，今天几乎所有的自然科学的定律和理论，不仅存在一个被推翻的可能性，而且有很多的例外。比如，证实引力波的实验，也只能保证99.9999%的可能性结论是对的。

但是，在数学上，用实验来验证一个假说（在数学上常常被称为猜想）是不被允许的，我们在后面介绍无穷大时，大家还会看到这甚至是做不到的。数学的结论只能从逻辑出发，通过归纳或者演绎得出来。它必须完全正确，没有例外，因为但凡有一个例外（也被称为反例），就要被完全否定掉。这里面最著名的例子就是哥德巴赫猜想。

今天人们利用计算机，在可以验证的范围内，都验证了这个猜想是对的，但是因为没有穷尽所有的可能，就不能说猜想被证明了。因此，我们依然不能在这个基础上，构建其它的数学定理。

所以，数学世界和测量世界第二个区别就是，数学理论必须要证明，保证没有例外。

3.科学结论相对性和数学结论绝对性的区别

为什么数学要那么严格，它的定理为什么不能有任何例外，更不能特殊情况特殊处理呢？因为数学上的每一个定理都是一块基石，后人需要在此基础上往前走，试图建立一块新的基石，然后数学的大厦就一点点建成了。在这个过程中不能有丝毫的缺陷，一旦有，整个数学大厦就轰然倒塌了。

还是以勾股定理为例，它的确立，其实教会了人们在平面计算距离的方法，在此基础之上，三角学才得以建立，笛卡尔的解析几何才得以确立，再往上才能建立起微积分等数学工具。此外我们这个模块后面会讲到的无理数的出现、黄金分割，都和它有关。

人类今天发明的各种科技，像无线通信、航天等等，依赖于这些定理。如果出现了一个违反毕达哥拉斯定理的反例，不仅是这个定理失效了，而且整个数学就完蛋了，我们的科技也就时灵时不灵了。因此，数学上的每一个定理，必须也只能通过逻辑推演来证明，用多少实例来验证都没有用。

理解了数学定理确立的过程，以及它随后产生的巨大影响，我们就清楚定理和定理证明在数学中的重要性了。正是因为这个原因，西方才将这个定理命名为毕达哥拉斯定理，以彰显他的贡献。是他明确提出这个定理，并且严格地证明了它，从此毕达哥拉斯定理才成为了数学上普遍的规律。

有了一个个的定理，数学就得以建立起来，而且这个建立在逻辑推理基础上的大厦很坚固。在数学上，当一个新的定理被证明后，就会产生很多自然的推论，每一个推论可能都是一个重大的发现，甚至能带来人类认识的升级。毕达哥拉斯定理的一个直接推论，就是无理数的存在。

要点总结：数学和自然科学不同，它不相信测量，不是建立在实证基础之上，而是建立在逻辑基础之上的。数学也不接受大部分情况正确，但是包含例外的定理。这样整个数学大厦的基础才得以稳固。数学定理确立的过程大致是这样的，一开始可能只是大家注意到几个特例，然后发现很多例证提出猜想，猜想经过证明就成为了定理，定理会有推论，在此基础上，会有新的定理和应用。

总之：学好数学最重要的办法就是不断训练自己的思维方式。

参考文献：

1.百度百科

2.《学好初中数学并不难》

3.吴军《数学通识50讲》