高中数学----考点48 与三角化简求值相关的综合问题

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【基础回顾】

　　三角函数式化简的常三角函数式化简的常用公式有：同角三角函数间的关系、诱导公式、和（差）角公式、倍角公式.

【二级结论必备】
　　三角函数式化简就是使式子最简, 即：能求值的应求值；次数最低，项数最少，三角函数种类最少，将高级运算表为低级运算.
　　三角函数式化简的常规方法有：直用公式，逆用公式，变用公式，化切为弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次.

【技能方法】

1. 三角函数式的化简与给角求值
　　“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．

例1.＝______．
【答案】6
【解析】
　　原式
　　
　　＝2[sin50°•cos10°＋sin10°•cos(60°－10°)]
　　
【点评】
　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
　　①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；
　　②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
　　③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．

2.三角函数的给值求值
　　“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

例2. 【2015江苏】已知tanα=-2，，则tanβ的值为_______.
【答案】3
【解析】
　　
【点评】
　　本题考查差角的正切公式.在运用公式时要特别注意“条件角”和“结论角”之间可能存在的和差联系. 角度变换是三角变换的核心.

3.三角函数的给值求角
　　“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．

例3.已知，且，求β.
【解析】
　　
　　又因为
　　因为
　　所以
　　所以
　　所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
　　
　　因为. 所以
【点评】
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：
　①已知正切函数值，选正切函数；
　②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．

【基础达标】

1. 已知α和β的终边关于直线y＝x对称，且，则sinα等于(　　)
　　　　
　　　　　
【答案】
【解析】
　　因为α和β的终边关于直线y＝x对称，
　　所以(k∈Z)．又
　　所以(k∈Z)，即得
　　又α＋β∈(0，π)，所以

2. 已知，则sin²α－sinαcosα的值是(　　)
　　　　
　C．－2　　D．2
【答案】A
【解析】
　　
　　即tanα＝2，
　　所以sin²α－sinαcosα
　　

3. 已知，则sinθ－cosθ的值为(　　)
　　　　
　　　　　
【答案】B
【解析】
　　因为，所以cosθ＞sinθ，
　　又(sinθ＋cosθ)²＝1＋2sinθcosθ＝，
　　所以
　　所以
　　所以

4.若锐角α、β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α＋β＝________.
【答案】
【解析】
　　由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，
　　可得，即tan(α＋β)＝.

5. 已知，且，则＝________.
【答案】
【解析】
　　因为
　　
　　所以
　　所以

【能力提升】

1. 【2014•衡水质检】已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos(+β)+5=0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1, 则sinα的值是(　　)
　　　　　
　　　　
【答案】
　　
【解析】
　　由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ＝1，
　　解得tanα＝3，
　　又sin²α＋cos²α＝1，α为锐角．
　　故

2.【2014 新课标全国Ⅰ】设，且，则(　　)
　　　　
　　　　
【答案】B
【解析】
　　由条件得
　　即sinαcosβ＝cosα(1＋sinβ)，
　　
　　因为
　　所以，所以，故选B.

3.＝________.
【答案】
　　
【解析】
　　
　　
　　
　　
　　
　　

4.已知α，β∈(0，π)，且，求2α－β的值．
【解析】
　　因为tanα＝tan[(α－β)＋β]
　　
　　
　　
　　又因为
　　
　　因为－π＜2α－β＜0，
　　所以

5. 已知
（1）求sinα的值；
（2）求β的值．
【解析】
　（1）因为
　　
　　
　　解得

　（2）由（1）知
　　又所以β－α∈(0，π)，
　　而
　　所以
　　于是sinβ＝sin[α＋(β－α)]＝sinαcos(β－α)＋cosαsin(β－α)
　　
　　又，所以

【终极突破】

1. 已知tanθ=2，则sin²θ+sinθcosθ-2cos²θ=(　　)
　　　　
　　　　

【答案】D
【解析】
　　因为tanθ=2，
　　所以sin²θ+sinθcosθ-2cos²θ
　　
　　, 故选D．

2.已知，则sin4α= .
【答案】
　　
【解析】
　　因为
　　所以
　　又，
　　则2α∈(π，2π)，
　　所以
　　故

3. 已知函数f(x)＝cos²x＋sinxcosx，x∈R.
　（1）求的值；
　（2）若
【解析】
　（1）
　　

　（2）因为f(x)＝cos²x＋sinxcosx
　　
　　
　　
　　
　　
　　又因为
　　所以
　　所以

4.【2014•广东高考】已知函数，x∈R，且
（1）求A的值；
（2）若f(θ)－f(－θ)＝，，求
【解析】
　（1）因为，且
　　所以

　（2）由（1）知
　　因为f(θ)－f(－θ)＝，
　　所以
　　展开得
　　化简得
　　因为，所以
　　所以

5.【2015 北京市重点中学高三8月开学测试】
已知函数x∈R.
　（1）求f(x)的最小正周期；
　（2）求f(x)在上的最小值和最大值.
【解析】
　
　　
　　
　　
　　
　　f(x)的最小正周期为
　（2）
　　
　　当，即时，f(x)取最小值
　　当，即时，f(x)取最大值