解题研究:函数与导数专题函数零点问题(解答题)以2015-2021年高考数学试题为例

因篇幅所限，不涉及本文研究问题的小问不再呈现，可以多种方法解答的题目只选择一种最简洁的解法呈现，没有呈现的小问及方法，请点击相应的蓝字部分超链接查看.

类型一：函数零点个数

解函数零点个数问题分三步：求函数单调性，证明极值正负或根据极值正负,求参数取值范围，使用函数零点存在性定理寻找零点所在区间的端点.

一、根据单调区间分类讨论零点个数问题

（一）求函数单调性

1.直接求函数单调性

1.1不涉及隐零点

2020年高考全国1卷文科数学 多种方法解析第20题第（2）问

1.2涉及隐零点

2019年高考天津卷文科数学 从两个不同视角解析第20题第（2）问第②问

2.先变形，再求函数单调性

2.1变形一：方程两侧同除e的x次方（指数找朋友）

2018年高考全国卷2理科数学 从三个方向破解第21题第（2）问

2.2变形二：方程两侧同除含x的多项式

2018年高考全国卷2文科数学 从两个不同视角解析第21题第（2）问

2.3变形三：方程两侧取对数

导数压轴题：2021年高考全国甲卷理科数学第21题 三种方法寻找零点所在区间端点

2.3变形四：使用对数恒等式变形

导数压轴题：2021年高考浙江卷数学第22题 四种方法解第（3）问，两种方法解第（2）问

2.4变形四：孤立lnx（对数单身狗）

（二）证明极值正负或根据极值正负,求参数取值范围

1.证明极值正负

导数压轴题：2021年新高考全国2卷数学第22题 选②：五种方法寻找零点所在区间端点

2.根据极值正负，求参数取值范围

2.1直接根据极值正负，求参数取值范围

2020年高考全国卷3文科数学 全方位解析第20题

2.2先构造函数，再根据极值正负，求参数取值范围

导数压轴题：2021年高考浙江卷数学第22题 四种方法解第（3）问，两种方法解第（2）问

（三）使用函数零点存在性定理寻找零点所在区间端点

1.根据题目条件，可得零点所在区间端点

1.1题目条件中明确给出零点所在区间端点

2015年高考北京卷文科数学 从两个不同方向解析第19题第（2）问

1.2题目条件中隐藏零点所在区间端点

2020年高考浙江卷数学 多角度解析第22题

2.需要寻找零点所在区间端点

导数压轴题：2021年新高考全国2卷数学第22题 选②：五种方法寻找零点所在区间端点

2.2不等式放缩构造零点所在区间端点

导数压轴题：2021年新高考全国2卷数学第22题 选②：五种方法寻找零点所在区间端点

二、根据周期等划分区间分类讨论零点个数问题

解函数零点个数问题的三个步骤及相应方法与“一、根据单调区间分类讨论零点个数问题”类似，不再分开讲述.

1.非三角函数或分段函数

导数压轴题：2021年高考天津卷数学第20题 文末附如何三秒得到答案

2.三角函数

2019年全国卷1理科数学 从三个不同方向破解第20题第（2）问

3.分段函数

2015年高考全国卷1理科数学 全方位解析第21题

类型二：韦达定理在双零点问题中的应用

一、证明含零点不等式

2018年高考全国卷1理科数学 从两个不同视角解析第21题第（2）问

二、解含零点不等式

破解2017年江苏卷压轴题第20题（一）

破解2017年江苏卷压轴题第20题（二）

破解2017年江苏卷压轴题第20题（三）

今天，和各位读者继续分享2017年高考数学江苏卷第20题.

1

问题分析

第（3）需要用a表示f(x),f’（x）这两个函数的所有极值之和，解题时遵循先易后难的顺序：先求f’（x）的极值，再求f(x)的极值.

2

求f(x)的极值之和

3

对f(x₁)+f(x₂)变形

4

对f(x₁)+f(x₂)变形方法的优化

5

求a的取值范围

6

小结

回顾对2017年高考数学江苏卷第20题的解答，第（1）问考察学生对诸如极值，零点等概念的理解；第（2）问表面上考察不等式证明，实质是考察利用导数求函数值域这一知识点；第（3）问，难点在与对f(x₁)+f(x₂)进行适当的变形，另一难点在使用二分法确认h(a)=-3.5的根为6.此外，这一道题目对学生的运算能力也有着较高的要求.

类型三、复杂的零点取值范围问题

2020年高考全国3卷理科数学 从四个不同方向解析第21题第（2）问

类型四、与概率结合的零点问题

类型五：函数零点互为倒数问题

2019年高考全国卷2文科数学 全方位解析第21题