初中数学动点问题抓紧看,关于最值、最短路径问题,记得查漏补缺

中考数学中“动点”问题的考察是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数字数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中，也是大家最为害怕的部分，不仅花费大量的时间，而且得到的收获也比较的少。

其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题王老师以几个基本的知识点为基础，借助历年来中考真题解析，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法。

一、基础知识点综述

1. 两点之间，线段最短；

2. 垂线段最短；

3. 若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时，|PA-PB|最大，最大值为线段AB的长（如下图所示）；

4. 最短路径模型

（1）单动点模型

作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P是x轴上一动点，求PA+PB的最小值的作图.

（2）双动点模型

P是∠AOB内一点，M、N分别是边OA、OB上动点，求作△PMN周长最小值.

作图方法：作已知点P关于动点所在直线OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’与动点所在直线的交点M、N即为所求.

5. 二次函数的最大（小）值

在二次函数的顶点式中，当a>0时，y有最小值k；当ay有最大值k.

二、主要的方法归纳

利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见经典例题解析）

三、经典例题解析

例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为

解：∵PQ⊥EP，

∴∠EPQ=90°，即∠EPB+∠QPC=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=90°，∠EPB+∠BEP=90°，

∴∠BEP=∠QPC，

∴△BEP∽△CPQ，

此题为“一线三直角模型”，解题方法为相似三角形性质求解，综合利用二次函数的性质求解最值问题。

例2.（2019·自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C、F分别是直线x=－5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取最小值时，tan∠BAD=（ ）

由图可知：当AD与圆G相切时，BE的长度最小，如下图，

此题解题的关键是找到△ABE面积最小时即是AD与D的运动轨迹圆相切的时刻. 进而构造以∠BAD为内角的直角三角形，利用勾股定理求出边长，代入三角函数定义求解。

总结：中考复习最后的冲刺阶段，对于压轴题的专项突破不仅难度大，而且知识点之间的联系更为紧密，所以同学们要注重知识点间的综合运用，动点问题涉及的内容较为复杂，但是想要拉开差距，就是大家的必修课，加油吧！