我的四年级教学:“三角形的内角和”教学札记

发布于 2021-03-31 22:13 ，所属分类：知识学习综合资讯

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思考一：“三角形的内角和”的数学本质是什么？蕴含的数学思想方法有哪些？

教学不能只停留在数学知识的表面，仅仅让学生掌握数学的基础知识，习得数学的基本技能，而应该通过学习让学生感悟教学内容的数学本质，感受数学的魅力，从而促进学生数学核心素养的形成与发展。

三角形内角和的数学本质是什么？从知识发展的角度分析，三角形内角和是在学生初步认识了三角形（图形的概念、要素和特征）的基础上，进一步研究图形的性质（三边关系和内角和），它属于三角形的再认识，在后续的数学学习中，还将进一步学习多边形的内角和等内容。因此，三角形内角和是三角形认识的一次延伸，是从图形外在特征到图形内在本质的一个转折，是从研究图形构成要素到研究要素之间关系的一次飞越。

“三角形内角和”一课蕴含什么数学思想呢？可以从以下几个方面进行分析：

第一，从知识形成的角度分析，三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，三角形的形状和大小“变”了，三角形的内角和却“不变”，这是图形内角和的奥秘，这里蕴含着抽象思想中的“分类思想”和“变中有不变的思想”。

第二，从数学命题的角度分析。三角形都有三个角，这是一个正命题，是真命题。然而，它的逆命题却是一个假命题，任意给定一组三个角不一定能组成一个三角形，只有当给定的三个角之和是180°时，才能组成一个三角形，也就是三角形是三个角的充分非必要条件，这里蕴含着推理思想。

第三，从知识发展的角度分析。三角形内角和是内角的一种规律，这个规律的得出本质上是一个归纳的过程，也就是在观察、操作三角形（锐角三角形、直角三角形和钝角三角形）的基础上，归纳得出三角形内角和的基本结论，这里蕴含着归纳思想。

第四，从知识推展的角度分析，如果把三角形内角和进一步拓展到多边形，那么多边形内角和问题可以通过把多边形分解为若干三角形得以解决，这里蕴含着转化思想。

思考二：小学阶段学习“三角形的内角和”需要“证明”吗？

人教版、北师大版小学数学教材中的《三角形的内角和》这一教学内容，都是通过“操作验证”得出结论的。操作验证主要包括两个环节，分别是“量一量”和“拼一拼”。

应当说，在小学阶段学习“三角形的内角和等于180°”这样的基本结论时，教师让学生用测量、计算、拼接实验的方法“归纳猜想，发现规律（结论）”是没有错误的，但不可否认的是，实验归纳的结果不一定靠谱，用这种方法得到的结论可能是对的，也可能是错的，还需要依靠演绎推理去验证。

2005年3月初，姜伯驹院士在全国政协会议上的提案中指出，“三角形内角和等于180°”这样的基本定理，只让学生用测量、计算、拼接实验的方法“归纳猜想，发现规律（结论）”，不说理，不证明，数学课就失去了理性的精神。

虽然小学阶段关注通过合情推理发现结论，培养演绎推理能力是中学几何教学的核心追求。但是，如果小学阶段不说理、不证明、不启蒙学生的理性精神，甚至错误地完全肯定实验归纳所得到的结论，到了初中阶段学习“三角形内角和定理”的证明时，学生会认为完全没有必要。

因此，教学中，在学生通过测量、拼、折等方法得出结论之后，教师要引导学生明白“测量也好、拼或折成平角也好，都会有误差”“实验归纳的结果不一定靠谱”，所以只通过“量一量”“拼一拼”“折一折”的实验归纳是不能肯定“每一个三角形的内角和都是180°”的。教师再告诉学生：“2000多年前，数学家欧几里德写了一套名为《几何原本》的书，在他的书中，用‘逻辑推理的方法对这个结论作了证明，从而保证了每一个三角形内角和都等于180°，现在我们可以相信它是对的。这个证明方法我们将会在初中阶段学习。”

教学中，还可以向学生介绍300多年前少年帕斯卡的推理方法：

长方形的四个内角都是直角，它的内角和就是360°。沿着对角线把长方形一分为二，得到两个直角三角形，进而得出“每一个直角三角形的内角和是180°”的结论。

怎样证明一个锐角三角形的内角和也是180°呢？先画出一个任意的锐角三角形，作三角形的一条高，把它分成两个直角三角形，因为直角三角形的内角和是180°，所以两个直角三角形的内角和是360°，因为有两个直角消失在大三角形的斜边上了，所以锐角三角形的内角和是180°，让学生体会转化的思想方法。

“現在我们能说每一个三角形的内角和都是180°了吗？为什么？我们只能说‘每一个锐角三角形的内角和也是180°，还需要论证‘每一个钝角三角形的内角和是180°。”教师通过设问引导学生继续用类似的方法“证明”钝角三角形的内角和也是180°。

这样的教学安排，使学生意识到数学论证需要经过全面、周密、严谨的思考，保证数学结论具有科学性。通过“实验法+证明法”得出结论也有助于启蒙理性精神，初步培养学生演绎推理的意识和推理能力。