曾月波:?2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学甲卷第21题解答

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既高中数学解题研究，也教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

欢迎朋友们来稿！来稿请注明真实姓名、工作单位和联系方式。特别欢迎原创文章。只接受word版式的电子稿，文责自负。投稿邮箱：wwxwxh@163.com

2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学甲卷第21题解答

四川省双流中学文卫星数学生态课堂实验基地曾月波

扫描ErWeiMa，gongzhong号“文卫星数学生态课堂”

往期推荐

文卫星、张润平：2021年新高考Ⅰ卷第21题“秒杀”解法及16题解答

徐兰：溯“源”引“流”，挖掘本质，塑造模型 ——2020届全国卷解析几何压轴题说起

文卫星：使你高考数学出色发挥的策略（心理篇）

文卫星：使你高考数学出色发挥的策略（实战篇）

张润平：用思维导图解压轴题 从通法到秒杀（14）） ----恒成立时靠转化 超越函数话同构

文卫星：用思维导图解答压轴题----从通法到“秒杀” （13）----以解析几何为例

刘明：全国优秀课例点评----全面落实课程目标 提升学生综合素养 ——“弧度制”点评

张振山：用思维导图解压轴题----从通法到秒杀（12））——2020年高考天津卷第20题解法研究

刘烨烨：“弧度制”教学设计

曾月波：用思维导图解答压轴题----从通法到秒杀（11）---四川省成都市2021届第三次诊断性检测题

庄艳侠 赵宝东：问题驱动建基搭梯 抽象概念自然形成

李昌官：数学的学科性质与课程目标

陈勇：用思维导图解答压轴题 从通法到秒杀（10）） ——2021八省联考导数试题解析

刘海涛：用思维导图解答压轴题 从通法到秒杀----用“双直线方程”法解一类解析几何压轴题

罗增儒：认识多重选择题 迎接高考新挑战

幸杰华：浅谈新高考背景下的数学课堂教学——以学定教

练育宏：“追”得适时 “问”出精彩 ——以“数列中一类存在性问题复习课”为例

文卫星：指导学生写章末小结的方法和体会

文卫星：例谈数学课中的整体教学

王方汉（大罕）：对一道几何最值问题的评论

文卫星：数学教学的育人功能

文卫星、张文源：数学人文精神之我见

姚雪：让立体几何的“图”生动起来

文卫星：数学教学中的育人艺术

文卫星：让数学课堂教学多些文化气息

文卫星：对数学课中渗透德育的思考与实践

行凯哥、查晓东：聚焦核心素养，展示生长课堂 ——以“多面体的外接球问题”的教学为例

王永生：极值点偏移问题的主题教学实践

胡革新 肖凌戆：优效备考：数学高考复习的教学追求

于莺彬：合理设置问题组，激起思维千层浪--问题解决式教学模式下如何设置问题组

张琦：顺势而为 展开探究 提升素养 ——抛物线“距离和”的最值问题引发的探究与思考

高成龙姜志慧：一道平面向量高考试题的研究与拓展

王华民：依据学情，优化教学，提高生源薄弱学校教学质量 ——对“共面向量定理”的对比分析与教学思考

渠东剑：高考数学复习教学教什么 --“八省联考”解析几何题的分析与启示

钱桂荣：基于深度学习的“三角变换”微设计

殷玉波：在解题教学中形成数学思想 ——以一元函数导数问题为例

林京荣：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

任伟芳：探究教学设计关键在于“度”的把握 ——以“为什么截口曲线是椭圆”为例

王波凤：由一道高考试题的“失分”解法引起的教学思考

曾荣：数学单元教学的整体设计与课时实施* ——以“圆锥曲线”单元教学为例

徐建东：现象教学视野下的概念教学设计及评析 --以《函数的奇偶性》为例

李小蛟：以题研课 -----用好一题一课，提升复习质量

李金蛟：数学解题教学应从“模糊”走向“精确” ——以“寻找导数压轴题求解方向”为例

郑良：深化数学理解 促进思维生长 ——对一节“解三角形中的取值范围问题”复习课的思考

王波凤：揭示数学本质 引导学生思考 ——“等差数列前n项和”的教学探索

陈友兵：巧借导数工具法，妙解三角函数题

吕曾锋：“文献阅读与数学写作”的内涵、功能与评价 ——研读高中数学新教材引发的思考

谢小翔：高中数学章引言课的教学实践 ——以"数列"教学为例

岳俊：应用GGB探究解析几何定点问题

刘烨烨：引学生数学探究 教学生学会学习 ——以“空间几何体的表面积”教学为例

翟洪亮：利用GeoGebra软件进行可视化探究教学

孙居国：初高中数学的衔接要重在思想方法的衔接

孙四周：现象教学视角下的任意角教学——实录与反思

胡晋宾：数学眼光的内涵及培养

高振严：HPM视角下的基本不等式教学

冯一成：例谈高中生直观想象核心素养的培养

于莺彬：重视结构不良新题型，培养数学思维灵活性 --对2020年全国新高考试卷中的结构不良型试题的分析与反思

文卫星：用思维导图解答压轴题 从通法到秒杀 ----2021届八省联考第21题8种解法

文卫星：如何提高二轮复习的效率

缪林：基于素养的“函数与导数”复习研讨

张润平：用思维导图解答压轴题 从通法到秒杀（6） ----恒成立时靠转化 经典不等式放缩

黄鹏程：张角化圆，“圆”来如此

文卫星：新教材必修1 每课讲与练 第讲 任意角 （训练篇）答案

文卫星：新教材必修1 每课讲与练 第讲 任意角 （训练篇）

文卫星：新教材必修1 每课讲与练 任意角 （精讲篇）

张润平：用思维导图就压轴题----从通法到“秒杀”5----恒成立时靠转化 两边求导避繁琐

张惠：例谈函数 的初相的确定

文卫星:新教材必修1 每课讲与练 第10 讲 绝对值不等式（训练篇）答案

文卫星：新教材必修1 每课讲与练 第10 讲 绝对值不等式（训练篇）

钱怡：提升复习质量，渗透核心素养

文卫星：新教材必修1 每课讲与练 第10 讲 绝对值不等式（精讲篇）

张润平：成立时靠转化 经典不等式放缩

赵明明:多维视角巧应用，解三角形妙破解 ——2020年全国卷Ⅱ（理）第17题

夏繁军 张鹤：“整章—单元—课时”的教学设计与反思 ——以人教B版第十一章第3单元“空间平行关系”为例

张润平：用思维导图解压轴题：从通法到秒杀--恒成立时靠转化 六大超越常熟悉（4）

张益明，纪妍琳：立体几何中的类比推理 ——基于数学史，提升专题学习质效

葛艳:雄关漫道真如铁，而今迈步从头越 ——2020年江苏卷第12题

周军：素养立意：导向学习进阶的高中数学教学目标设计 ——以“函数单调性”为例

运用合作探究和信息技术发展数学核心素养 ——以“求至少2个学生生日相同的概率”为例

纪晖：二轮复习：应注重四种能力的提升

李安：新高考下全国卷与江苏卷导数考查的横向探究

王彬：用思维导图解答压轴题————从通法到秒杀 ————2020年全国Ⅰ卷理科数学解析几何试题探析与思考

文卫星：新教材必修1 每课讲与练 第9讲 基本不等式 （训练篇）

文卫星：新教材必修1 每课讲与练 第9讲 基本不等式 （训练篇）

文卫星：用思维导图解压轴题 从通法到“秒杀”（1）---- 以2019年全国Ⅱ卷第20题为例

于晓闻：追溯错因 促进思考 拓展思维———以一道最值问题引发的思考为例

于莺彬、刘海龙：数学核心素养引领下的单元教学设计 --以“高三二轮复习解三角形”为例

肖凌戆：从深度学习走向高中数学深度教学 ——以“圆锥曲线探索性问题”为例

肖凌戆：高中数学“优效教学”的十年探索

高峥：数学概念理解差错的分析流程之解析概念模块*

2021年上海市春季高考数学试卷 （学生回忆版）2021.01

高峥：“刷题”真的能提高学生的学习能力吗？

高峥：基于DELC的“直线的参数方程”的教学设计

何彦：用对数均值不等式解决一类导数问题

王志和：必要条件拳拳框定 充分条件绰绰有余

王志和：反证法趣味隽永 痴情人海誓山盟

高彩霞：追本寻源 把握本质——2020年全国II卷（理数）20题的思考

陈之领等：发掘内隐素材性资源 助力学生深度理解概念* ——以“空间两条直线的位置关系”教学为例

文卫星：新教材必修1 每课讲与练 第8讲 分式不等式（训练篇）答案

李雪娇：渗透数学文化 彰显数学魅力——以“归纳—猜想—论证”教学为例

文卫星：新教材必修1 每课讲与练 第8讲 分式不等式（训练篇）

数学概念理解差错的分析流程之解析概念模块

赵荣 洪文德：在知识的细化探究过程中，学习正弦函数的图像

冯刚：提升基本活动经验 发展数学核心素养

林运来：培养学生做研究能手——以《高中生数学写作》为例

文卫星：新教材必修1 每课讲与练 第7讲 解二次不等式 （精讲篇）

尹德好：直观想象素养的形成策略 ----以2020年上海高考题解题思维为例

庄丰：一类三元最值问题的解法探索

黄安成评文卫星课例：评析《诱导公式教学实录》

庄丰：从一道高考改编题谈二面角的求解策略

文卫星：诱导公式教学实录

庄丰“探究促生成，老题出新意

徐晓兵评文卫星“幂函数”：数学教学要融入自己的元素

张国治：欣赏数学中的不变量与不变性质

高建国 来荣盛：图 象----幂函数教学的关键所在

谢玉平、段小龙：过程与结论有机融合，渗透素养拓展思维

孙四周：现象教学与HPM ——全国第七届HPM大会报告

阳志长评文卫星课例“幂函数”：深化知识 升华思想

孙四周：现象教学起始课

王先进评文卫星“幂函数”教学实录：简洁中的深刻 朴实后的精彩

孙四周：把数学问题还原为数学现象——谈“基于活动与体验的例题教学”

文卫星经典案例：幂函数教学设计

文卫星：新教材必修1 每课讲与练 第6讲 不等式的性质 （训练篇）答案

现象教学的内涵与价值

文卫星：新教材必修1 每课讲与练 第6讲 不等式的性质 （训练篇）

龚新平：应用”排序配对法”探求集合封闭性问题

文卫星：新教材必修1 每课讲与练 第6讲相对与不等 （精讲篇）

王海平：以数学建模为主线 落实学科核心素养 ——上海市中等职业教育数学新教材简介

祁建新 徐建东 水菊芳 孙四周：“在常规课堂中实行现象教学”的一次实验研究——以《同角三角函数关系》的教学为例

侯典峰：2020年高考全国新高考Ⅰ卷理科数学第21题的思考

任念兵：立足整体观 研读新教材 ——以“余弦定理、正弦定理”的内容解读为例

吴林：把握教学立意，落实核心素养

时坤明 吴洪生：践行生态课堂理念，提升数学核心素养 ----以“平面与平面平行”为例

方元沁：高中跨学科教学初探 ——以数学中的对数和地理中的地震震级为例

王志和：例说增厚学科德育教育素材的两个途径

郑良：三谈数学文章的写作

殷玉波：基于数学文化培育数学核心素养的课堂教学

陕西师大博导罗增儒：课堂研修“等比数列的前n项和”续

陕西师大博导罗增儒：课堂研修“等比数列的前n项和”

俞光军：有效促进学生主动发展 有力提升学科核心素养 ——《等比数列前n项和》课例点评

沈春妍、刘海滨 教学设计：等比数列的前n项和

黄梦蝶，唐恒钧，刘洋：哥尼斯堡七桥问题中的辩证思维

李志敏：高中数学课堂教学的误区与对策

任念兵：深度研读教材 促进专业成长* ——谈研读教材的几个微观视角

钟进均：基于建构主义数学学习观的数学写作案例探究

张俊：溯源论解法 联想生新题

吕增锋：反复认知，螺旋上升 ——由研读新教材“基本不等式”引发的教学思考

李宽珍：再谈高中数学“微专题”教学 ---微专题的编制策略与方法

李宽珍：微专题教学中实现深度学习的思考

文卫星：新教材必修1讲与练 第5讲 全称量词与存在量词

唐永：凸显数学知识本质 促进学生深度学习 —— “弧度制”教学实录与反思

虞涛:数学概念的结构、功能及其教学策略

高考中结构不良的试题的分析及应对策略

文卫星：新教材必修1讲与练 第5讲 全称量词与存在量词（训练篇）

文卫星：新教材必修1讲与练 第5讲 全称量词与存在量词（精讲篇）

李宽珍：数学微专题教学的特征、策略及方法的思考

文卫星：新教材必修1讲与练 第5讲 全称量词与存在量词

李英：新教材实施的思考：从大观念出发 ——以“任意角”教学为例

文卫星：新教材必修1讲与练 第4讲 命题与充要条件（训练篇）答案

李宽珍：基于目标意识解题的微专题教学 ——由一道模拟题谈开去

文卫星：新教材必修1讲与练 第4讲 充要条件（训练篇）

孔德鹏：高中数学主题教学现状调查与思考

文卫星：新教材必修一讲与练 第四讲 命题与充要条件

反证法的理论依据是逆否命题吗？

2020年杭州市初中数学课堂教学展示评审活动优秀课例展示（十三 ）

杨永清：问题预设孕生成 悟化深学润素养 ——以“方程的根与函数的零点”教学为例

吕增锋：构建“平面向量”与“正弦、余弦定理”多重联系 ——由最新版人教高中数学教材引发的思考

文卫星：新教材必修一每课讲与练 第三讲 集合的运算（训练篇）A

王芝平：圆锥曲线的一组新定值

查晓东、金沛阳:割线斜率取值范围问题再探究

文卫星：新教材必修1 每课讲与练 第3解集合的运算（精讲篇）

钟萍：HPM视角下高三数列复习课的教学设计与反思

白志峰：高三第一轮复习，孰轻孰重

2020年杭州市初中数学课堂教学展示评审活动优秀课例展示（十七）

朱永厂：让探究成为一种习惯 ——以一道向量高考题为例

2020年杭州市初中数学课堂教学展示评审活动优秀课例展示（十九）

文卫星：高三数学开学第1课开场白两篇

文卫星：高一数学第一课（引言）教学实录

文卫星：新教材必修1 每课讲与练 第2讲集合的关系（精讲篇）

王小国：基于结构、合理联想构造——致王芝平老师gongzhong号的两道题

文卫星：必修1 第1讲 集合的概念（训练篇）B、C组答案

王芝平：一道俄罗斯数学竞赛题的简单解法

文卫星：必修1 第1讲 集合的概念（训练篇）C组+A组答案

王芝平：数学解题要本质、自然、规范、简单 ——数学通报第2548问题的一个新解法

王芝平：再用“参数范围迷人眼，必要充分常相宜”解题

文卫星：新教材必修1 每课讲与练 第1讲 集合的概念（精讲篇下）

徐海东：解题回归定义

文卫星：新教材必修1 每课讲与练 第1讲 集合的概念（精讲篇上）

于莺彬、刘海龙：高中数学情境创设的策略探究

李昌官：素养为本的高中数学单元起始课教学 ——兼谈“平面向量及其应用”单元起始课教学

李昌官：素养为本的高中数学单元起始课教学 ——兼谈“平面向量及其应用”单元起始课教学

王怀学、翟洪亮：基于数学核心素养下科学预设与精准教学实践的思考