中考数学模拟试卷3(附详细解析)

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）2的相反数是（　　）

A． B．2 C．﹣2 D．﹣

2．（3分）如图所示物体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）计算（﹣xy²）³，结果正确的是（　　）

A．x³y⁵ B．﹣x³y⁶ C．x³y⁶ D．﹣x³y⁵

4．（3分）方程x²﹣3x＝0的解为（　　）

A．x＝0 B．x＝3

C．x₁＝0，x₂＝﹣3 D．x₁＝0，x₂＝3

5．（3分）在2014年的体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是（　　）

A．18，18，1 B．18，17.5，3

C．18，18，3 D．18，17.5，1

6．（3分）关于反比例函数y＝的图象，下列说法正确的是（　　）

A．图象经过点（1，1）

B．两个分支分布在第二、四象限

C．当x＜0时，y随x的增大而减小

D．两个分支关于x轴成轴对称

7．（3分）如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为（　　）

A．10cm² B．10πcm²

C．20cm² D．20πcm²

8．（3分）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（　　）

A． B． C． D．

9．（3分）如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（　　）

A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a，﹣b﹣1）

C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b+2）

10．（3分）“如果二次函数y＝ax²+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（　　）

A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b

C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b

二、填空（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）

11．（2分）数据显示，今年高校毕业生规模达到727万人，比去年有所增加．数据727万人用科学记数法表示为　 　人．

12．（2分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．

13．（2分）三张扑克牌中只有一张黑桃，三位同学依次抽取，第一位同学抽到黑桃的概率为　 　．

14．（2分）直线l₁∥l₂，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1＝85°，则∠2＝　 　．

15．（2分）一次函数y₁＝kx+b与y₂＝x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是　 　．

16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D在AC上，BD＝BC，则∠ABD的度数是　 　°．

17．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB＝3，BC＝4，则AD的长为　 　．

18．（2分）在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°．M为BC的中点，则PM的最小值为　 　．

参考答案与试题解析：

一、选择题

1．C； 2．D； 3．B； 4．D； 5．A；

6．C； 7．B； 8．D； 9．D； 10．A；

二、填空

11．7.27×10⁶； 12．x≥﹣1且x≠0； 13．； 14．40°； 15．x＜﹣2； 16．30； 17．； 18．；

三、解答题（本大题共10小题，共84分．解答时应写出文字说明、证明过程或验算步骤）

19．计算与化简

（1）|﹣1|﹣﹣（5﹣π）⁰+4cos45°

（2）（a+b）²﹣a（a﹣2b）

20．（1）解方程：；

（2）解不等式组：．

21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：AE＝CF．

22．某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：

径赛项目：100m，200m，400m（分别用A₁、A₂、A₃表示）；

田赛项目：跳远，跳高（分别用B₁、B₂表示）．

（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为　 　；

（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．

23．某企业500名员工参加安全生产知识测试，成绩记为A，B，C，D，E共5个等级，为了解本次测试的成绩（等级）情况，现从中随机抽取部分员工的成绩（等级），统计整理并制作了如下的统计图：

（1）求这次抽样调查的样本容量，并补全图①；

（2）如果测试成绩（等级）为A，B，C级的定位优秀，请估计该企业参加本次安全生产知识测试成绩（等级）达到优秀的员工的总人数．

24．阅读理解：[x]表示不大于x的最大整数，例[2.3]＝2，[﹣5.6]＝﹣6

（1）[8.2]＝　 　．[﹣]＝　 　．

（2）[x]＝2的x的取值范围　 　．

（3）直接写出方程[2x]＝x²的解．

25．已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．

（1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）若DE＝2，tanC＝，求⊙O的直径．

26．某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．

（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？

（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元，且生产B产品不少于38件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？

（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费40元，若生产一件B产品需加工费50元，应选择哪种生产方案，使生产这60件产品的成本最低？（成本＝材料费+加工费）

27．已知：，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．

（1）如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；

（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．

28．如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y＝4﹣x于C、D两点．抛物线y＝ax²+bx+c经过O、C、D三点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．

参考答案与试题解析：

三、解答题

19．

【解答】解：（1）原式＝1﹣﹣1+4×

＝；

（2）原式＝a²+2ab+b²﹣a²+2ab

＝4ab+b²．

20．

【解答】解：（1）方程两边都乘以（x﹣2）得，

1＝x﹣1﹣3（x﹣2），

解得x＝2，

检验：当x＝2时，x﹣2＝2﹣2＝0，

所以，原分式方程无解；

（2），

解不等式①得，x≥﹣1，

解不等式②得，x＜2，

所以，不等式组的解集是﹣1≤x＜2．

21．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，OA＝OC，

∴∠OAE＝∠OCF，

在△OAE和△OCF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴AE＝CF．

22．

【解答】解：（1）∵5个项目中田赛项目有2个，

∴该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：；

故答案为：；

（2）画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的12种情况，

∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为：＝．

23．

【解答】解：（1）依题意有：20÷40%＝50（人），

则这次抽样调查的样本容量为50．

50﹣20﹣5﹣8﹣5＝12（人）．

补全图①为：

；

（2）依题意有500×＝370（人）．

答：估计该企业参加本次安全生产知识测试成绩（等级）达到优秀的员工的总人数为370人．

24．

【解答】解：（1）小于8.2的最大整数位8，小于﹣最大的整数位﹣3；

故答案为：8；﹣3．

（2）∵：[x]表示不大于x的最大整数，

∴2≤x＜3．

故答案为：2≤x＜3．

（3）由题意可得，

解得：0≤x≤2

∵x²为整数

∴x＝0，，，2

方程[2x]＝x²的解为：0，，，2

25．

【解答】（1）证明：连接OD．

∵D为AC中点，O为AB中点，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴∠DEC＝90°，

∴∠ODE＝∠DEC＝90°，

∴OD⊥DE于点D，

∴DE为⊙O的切线；

（2）解：连接DB，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴DB⊥AC，

∴∠CDB＝90°

∵D为AC中点，

∴AB＝BC，

在Rt△DEC中，

∵DE＝2，tanC＝，

∴EC＝，

由勾股定理得：DC＝，

在Rt△DCB中，BD＝，

由勾股定理得：BC＝5，

∴AB＝BC＝5，

∴⊙O的直径为5．

26．

【解答】解：（1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，

依题意得：，

解得：；

答：甲种材料每千克25元，乙种材料每千克35元．

（2）设生产B产品a件，生产A产品（60﹣a）件．

依题意得：

解得：38≤a≤40；

∵a的值为非负整数，

∴a＝38、39、40；

答：共有如下三种方案：

方案1、A产品22个，B产品38个，

方案2、A产品21个，B产品39个，

方案1、A产品20个，B产品40个；

（3）生产A产品22件，B产品38件成本最低．理由如下：

设生产成本为W元，则W与a的关系式为：

W＝（25×4+35×1+40）（60﹣a）+（35×3+25×3+50）a＝55a+10 500，

即W是a的一次函数，

∵k＝55＞0

∴W随a增大而增大

∴当a＝38时，总成本最低；

即生产A产品22件，B产品38件成本最低．

27．

【解答】解：（1）①如图，作AE⊥PB于点E，

∵△APE中，∠APE＝45°，PA＝，

∴AE＝PE＝×＝1，

∵PB＝4，∴BE＝PB﹣PE＝3，

在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，

∴AB＝＝．

②解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将

△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，

可得△PAD≌△P'AB，PD＝P'B，PA＝P'A．

∴∠PAP'＝90°，∠APP'＝45°，∠P'PB＝90°

∴PP′＝PA＝2，

∴PD＝P′B＝＝＝；

解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的

延长线交PB于G．

在Rt△AEG中，

可得AG＝＝＝，EG＝，PG＝PE﹣EG＝．

在Rt△PFG中，

可得PF＝PG•cos∠FPG＝PG•cos∠ABE＝，FG＝．

在Rt△PDF中，可得，

PD＝＝＝．

（2）如图所示，

将△PAD绕点A顺时针旋转90°

得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，

∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝PA＝2，PB＝4，

且P、D两点落在直线AB的两侧，

∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）

此时P'B＝PP'+PB＝6，即P'B的最大值为6．

此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135度．

28．

【解答】解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．

∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y＝ax²+bx．

∴，

解得，

∴抛物线的表达式为：y＝﹣x²+x．

（2）存在．

设直线OD解析式为y＝kx，将D（3，1）代入，

求得k＝，

∴直线OD解析式为y＝x．

设点M的横坐标为x，则M（x，x），N（x，﹣x²+x），

∴MN＝|y_M﹣y_N|＝|x﹣（﹣x²+x）|＝|x²﹣4x|．

由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN＝AC＝3．

∴|x²﹣4x|＝3．

若x²﹣4x＝3，整理得：4x²﹣12x﹣9＝0，

解得：x＝或x＝；

若x²﹣4x＝﹣3，整理得：4x²﹣12x+9＝0，

解得：x＝．

∴存在满足条件的点M，点M的横坐标为：或或．

（3）∵C（1，3），D（3，1）

∴易得直线OC的解析式为y＝3x，直线OD的解析式为y＝x．

如解答图所示，

设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．

设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；

设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．

设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），

则图中AF＝t，F（1+t，0），Q（1+t，+t），C′（1+t，3﹣t）．

设直线O′C′的解析式为y＝3x+b，

将C′（1+t，3﹣t）代入得：b＝﹣4t，

∴直线O′C′的解析式为y＝3x﹣4t．

∴E（t，0）．

联立y＝3x﹣4t与y＝x，解得x＝t，

∴P（t，t）．

过点P作PG⊥x轴于点G，则PG＝t．

∴S＝S_△OFQ﹣S_△OEP＝OF•FQ﹣OE•PG

＝（1+t）（+t）﹣•t•t

＝﹣（t﹣1）²+

当t＝1时，S有最大值为．

∴S的最大值为．

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