初高中数学衔接知识 第二讲 因式分解

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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直角扇形中向量数量积取值范围

试题的多种解法

湖北省阳新县高级中学 邹生书

解法1：特殊化方法

本题作为一道填空题，只填写结果不问过程，因此我们可以根据图形的对称性凭直觉进行猜想，只考察点P的某些特殊位置时向量的数量积，从而猜想其取值范围.

下面小题大做，将此题当作解答题来求解给出如下几种解法，同时验证上述猜想是正确的。

解法2：坐标法+圆的参数方程+换元+二次函数

图2

建立直角坐标系如图2所示.

解法3：解三角形+二次函数

图3

如图3，OD⊥AB于点D,PQ的延长线交OA于点E,

则∠PEA=π/4,设∠MPN=θ，

则OD=√2/2,θ∈[0,π/4]。

解法4：向量数量积几何意义+四点共圆双割线定理切入求解

图4

如图4，OD⊥AB于点D,PQ的延长线交OA于点E,

则∠PEA=π/4,设∠MPN=θ，

则OD=√2/2,θ∈[0,π/4],

作QF⊥AB于点F.由向量数量积的几何意义得

解法5：极化恒等式+图形直观

图5

如图5，设PQ交弦AB于点M,连接OM,因为M为PQ之中点，

观察图1知,√2/2=OD≤OM≤OA=1,0≤PM≤1-√2/2,

且当点P到弦AB的距离MP减小时,OM的长度增大.

参考文献：

杨志明。一道有关扇形中的平面向量取值范围问题的解答。杨志明数学角，20210626

邹生书数学

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