增强目标函数意识 攻克高考压轴题

江苏省锡山高级中学(214174) 吴宝莹

摘要高考压轴题主要考查学生综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力以及数学思维与逻辑推理能力,一般情况下,代数变换的技巧性很强、要求很高.目标函数法有目标明确、努力方向清晰确定、无需很强的变换技巧等优点,加上一定的数学思维韧性和数学运算功底,完全可以攻克高考数学压轴题.

关键词目标函数；导数；高考压轴题

把所求的目标表示成某个或某些变量的函数,这种函数就叫目标函数,建立目标函数的过程就是寻找变量与目标的关系的过程.从工程意义上讲,目标函数是系统的性能标准,比如,一个结构的用料最省、最低造价,一件产品的最短生产时间最短、能耗最小,一个实验的最佳配方等等,建立目标函数的目的就是实现最优化设计.从数学意义上讲,建立目标函数后,常常再利用导数研究函数的性质,寻求目标函数的最大值或最小值,或解决相关的其他问题.目标函数法有目标明确、努力方向清晰确定、无需技巧性很强且要求很高的代数变换等优点,但是,相对来讲,解决问题的过程可能会繁琐一些.我们只要增强目标函数意识,有一定的数学思维韧性和数学运算功底,完全可以攻克高考数学压轴题.

一、问题再现

2019年高考数学(江苏卷) 第19 题设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c ∈R,f′(x)为f(x)的导函数.

(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值；

(2) 若a≠ b,b=c,且f(x) 和f′(x) 的零点均在集合{-3,1,3}中,求f(x)的极小值；

(3)若a=0,0＜b≤1 且f(x)的极大值为M,求证：

二、标准答案

下面是命题组给出的标准答案：

解(1)、(2)略.(3)因为a=0,c=1,所以

f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx,f′(x)=3x2-2(b+1)x+b.因 为0＜b≤1,所以Δ=4(b+1)2-12b=(2b-1)2+3＞0,则f′(x) 有2个不同的零点,设为x1,x2(x1＜x2).由f′(x)=0,得

列表如下：

所以f(x)的极大值M=f(x1).

解法一

因此,M≤

解法二

因为0＜b≤1,所以x1∈(0,1).当x ∈(0,1) 时,f(x)=x(x-b)(x-1)≤x(x-1)2.令g(x)=x(x-1)2,x ∈(0,1),则令g′(x)=0,得

所以当x=时,g(x) 取得极大值,且是最大值,故

三、“目标”解析

本题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力以及逻辑推理能力.在标准答案的解法一中,

这一步是基于x1是f′(x)=3x2-2(b+1)x+b的零点,即3x21-2(b+1)x1+b=0,有一定的目标意识,就是说,在运算化简的过程中,一定要考虑x1的来历,它满足什么条件?但是这一步配凑技巧性很强,要求很高,一般学生难以达到.

以及解法二中f(x)=x(x-b)(x-1)≤x(x-1)2,这两步都用了放缩技巧,属于较高要求.

事实上,我们可以建立目标函数,利用导数求出M=f(x1)=x31-(b+1)x21+bx1的最大值,再证明

目标函数法

解(3) 因为a=0,c=1,所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx,f′(x)=3x2-2(b+1)x+b.因为0＜b≤1,所以Δ=4(b+1)2-12b=(2b-1)2+3＞0,则f′(x) 有2 个不同的零点,设为x1,x2(x1＜x2).由f′(x)=0 即3x2-2(b+1)x+b=0,得b=因为b ∈(0,1],即0＜则又抛物线y=f′(x) 的对称轴且f′(x)=0 的两根为x1,x2(x1＜x2),所以又所以,当x ∈(0,x1)时,f′(x)＞0,f(x)在(0,x1)上单调递增；当时,f′(x)＜0,f(x)在上单调递减,所以f(x)的极大值为M=f(x1).而

因为所以f′(x1)＞0,f(x1) 在上单调递增,所以M=f(x1)≤f(x)max=即

上述解题过程关键的一步就是,利用建立关于x1目标函数然后利用导数求出M=f(x1)的最大值.

四、无独有偶

2019年高考数学(江苏卷)第20 题定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”.

(1) 已 知 等 比 数 列{an} (n ∈N) 满 足：a2a4=a5,a3-4a2+4a4-0,求证：数列{an}为“M－数列”；

(2) 已知数列{bn} (n ∈N) 满足：其中Sn为数列{bn}的前n项和.

①求数列{bn}的通项公式；

②设m为正整数,若存在“M－数列”{cn} (n ∈N),对任意正整数k,当k≤m时,都有ck≤bk≤ck+1成立,求m的最大值.

解(1)略.(2) ① 易求得bn=n；

②由①可知bk=k,k ∈N∗,因为数列{cn}为“M数列”,设公比为q,所以c1=1,q＞0,且cn=qn-1(n ∈N∗).因为ck≤bk≤ck+1,所以qk-1≤k≤qk,其中k=1,2,···,m.

当k=1 时,q ≥1；当k=2,3,···,m时,qk-1≤k≤qk对任意k=2,3,···m恒成立,即对任意k=2,3,···,m恒成立.所以则设令则可得令y′=0,得k=e,在(0,e) 上y′＞0,f(k) 单调递增；在(e,∞) 上y′＜0,f(k) 单调递减,故f(x)max=f(e).又k=2,3,···,m,且故

同理,设则令h(k)=k-1-klnk,则h′(k)=-lnk＜0 (k ≥2),所以h(k) 在[2,+∞) 上单调递减,又k=2,3,···,m,所以h(k)≤h(2)=1-ln 2＜0,故y′＜0,则g(2)≥g(3)≥g(4)≥··· ≥g(m).由得k=2,3,···,m.当k=2时,成立；当k=3 时,成立；当k=4 时,成立；当k=5 时,成立；当k=6 时,不成立.故所求m的最大值为5.