自学数学的一点经验

我大学四年学的是理论物理；虽然大概有人认为物理与数学很相近，但深入接触过它们两者的人会知道，纯数学与物理是几乎完全不同的两门学科。所以一年多以前我可以算是没有什么数学基础。这篇文章总结一些一年来自学的经验，希望对对数学有兴趣而又没有基础的人有所帮助。这些经验应用于大学以上的纯数学方面；对于应用数学我了解不多，但或许也能应用一些；至于高中或以下的数学内容，它们大概是应用不来的。

一、数学阅读和证明

首先我想非常简单地阐述一下何谓数学阅读、何谓数学证明。对纯数学了解不是太多的人对我讲的或许不会有什么印象，但是这节的目的主要是为下一节（书籍选择）作背景；它会凸显下一节中许多事物的重要性。

给定一个命题，其数学证明是一连串的符合逻辑的语句，常常以命题中给定的前提开始，以命题的结论结束。何谓符合逻辑？即这段证明中的每一句都已被前置知识或论证所表明；前置知识是指已假设读者了解的知识点，前置论证是指在这段证明中先于本句的语句。也就是说，在这段证明中，所有语句意指的存在都是有证据的，最后，这一连串的证据指向命题的真。

数学阅读不是通常意义上的阅读。它不像文学阅读那样，读过一段文字以后，立即就会有图像浮现出来。数学阅读中，至少有七成的时间是在确认命题证明中语句的属实、逻辑的完整。有些时候读者不一定明白为何某个语句为真，其原因或许是读者没有某个假设了的前置知识点，或许是作者不爱写出细节（这种情况下，读者必须要拿笔在纸上亲自运算确认），甚至或许是这个语句本身就是不符逻辑的！读者在许多情况下辨别不出他们到底处于这三种情况中的哪一种；一般是默认为第二种情况，所以光是在这一条语句上就要花上很多时间。最后这些求证或许有结果，或许没有，但无论有结果与否，读者在这种经验中往往能有所受益（就算最后弃读，也是毅力的历练……）。

我把这方面说得很严重，但上一段的这种情况往往发生在超出本科或一些初级的研究生的内容中，所以如果你只是想学习这层以下的内容，不必担心太多。

我说“数学阅读不是通常意义上的阅读”，在书本的层面上还有另一方面。每一本书都有其主要思路。到了初级研究生级别的学科，很少会有两本书用一致的思路方法教学。在这种情况下，如果读者半途终止阅读一本书，选择阅读另外一本继续学习，这其中的代价不像换读另一本文学书那么简单。他们往往要浏览已经知道的结果，寻找能够半途切入的方向。然而这本新书或许假设读者已习惯某个在旧书中没有出现的常用的结果或方法，所以如果读者只是草率浏览过先前的内容，可能就会在接下来的阅读中遇到困难。另一方面，如果读者能够坚持将某本结构清晰的书阅读下去，其中收获不仅仅是书中的呈现的结果以及阅读的经验，还有书中将所有结果串联起来的整体思路。而一条清晰的思路与建立所有表象至其核心的联系是密不可分的。

总之，数学阅读与其说是一种阅读，倒不如说是一种investment；选择一本书籍就是选择一位沉默的导师。我相信你已经了解到选择一本好书的重要性了。

最后我必须声明一下，这里所表现的数学证明和阅读的方面只是诸多层面中的一种，并且是最“严肃”的那一种。Atiyah在《给年轻数学家的忠告》中讲过的数学证明的实质至今仍令我感到振奋不已。但我在这里阐述这些方面，主要是为下面一节服务。

二、书籍选择

选定要了解/攻克的学科之后，要在这个领域中查找并选择一本适合自己的书。书籍筛选可遵循以下几条原则：

1. 选择1970年以后、经典的、有许多人推荐和讨论的、最好是已经出版过多个版本的书。（例如Rotman经典的群论在1995年已经出版到第四版；Diestel的图论在2017年出版到第五版。如果没有特殊理由，不给1970年以前的书太多考虑。）

2. 在符合1.的书籍中，选择符合自己目前等级的书。

3. 在符合2.的书籍中，选择最符合自己爱好口味的书。

一般而言，能三条全都符合的只会有一两本而已；如果你选择的学科名字不为大多数人所知，那么能找到符合两条的书已经算是幸运。但通常，选择阅读的书籍必须要符合第二条。

下面我解释一下这三条原则的理由。

1. (a) 首先我解释一下为什么主要选择1970年以后的书。这个时间划分其实是比较任意的；我主要想表达的是，要偏向于年代较近的书。年代久远的书籍阅读起来往往有诸多不便。例如糟糕的排版和印刷、过旧的符号选择、过时的信息。如果某本70年以前的书籍并不是有什么惊为天人绝世出尘的思想内涵，其内容绝大部分已经被更新的书籍所吸收了，而那些更新的书籍往往会在很大程度上简化以往繁琐的证明方法。(b) 我推荐经典热门的书籍，其原因并不只是在于“民主”（但这也是原因之一；在数学中有许多人推荐的往往是好书）。我在第一节中已经提到数学阅读并不简单，读者需要投入大量的时间和高度集中的注意力来证实几乎每一句话的正确性。如果书中某个证明有一些重大的逻辑空白或者谬误，读者往往要花费几倍于平常的精力来填补或者纠正它们，甚至可能投入的时间都没有什么结果。这对于每个人来说多多少少都是有些挫折感的，并且增加了弃读的可能性。而经典热门书籍经过许多人检验，不能说它们就完全没有错误，起码它们的错误相较于别的书籍会更少一些。有时候这些书上的错误以及逻辑空白的解释还可以在math stackexchange上查到。

2. (a) 如果书的等级过高，阅读它只会浪费你的毅力和精力。但如果书的等级过低，也是一样的。等级太低的书对读者而言没有新的思想内容，练习没有挑战性，阅读它不仅浪费时间，而且磨损精神的锋锐。(b) 书的序言或简介中通常会提到本书的面向对象是谁。如果你完全没有基础，但书中提到第一年本科生可读，那么读这本大概是没有什么问题。如果你对某个话题有一些基础，选择这个话题中讨论得比较有深度的书，一般来说书的第一章或者第一节都比较熟悉的话，问题应该也不大。

3. 这条应该没有什么异议。上面说过，选择书籍和选择导师相仿，必须选择一位自己起码信服的导师，最好是喜爱甚至是有些崇拜的导师。这种情感能够在你阅读遇到困难的时候成为支持你的动力。

最后：(a) 如果选择的是较深一些的话题（比如本科第四年或以上），阅读两本思路不同的好书往往最令人受益。如果不是写非常基础的一些科目，一本书的视角往往有些平面，另外一本就能弥补这种不足，使得整个话题的图像立体而清晰起来。但我没有尝试过两本同时阅读。(b) 对于初学者我不建议在同一话题内阅读四本以上书籍。

三、阅读与笔记

阅读书籍，可以说其原则是非常简单的：证实每一段证明的正确性，阅读完一小节之后马上去做书里提供的相关练习。（我不建议跳过内容，除非你知道某一小节或命题确实可以跳过。）

为什么要亲自证实每一段证明的正确性？从较表层的角度来讲，证明包含了这个话题内适用的方法论，越是基础的命题，其证明所用的方法越是核心。只有读过证明以后，才能了解这个话题采用的方法；如果跳过证明不读，你会发现你很快在练习中一步都迈不出去。然而阅读证明还有个更深层的原因。数学不是一系列结果的堆积。它是一种思想、一系列的图像。思想与图像往往是非常隐蔽而不可言传的，它们在命题本身中往往无法体现。而阅读证明则常常是体会它们的唯一可靠的路径。（这里确实是有不少反例在，有些命题的意义非常清晰，但证明比较乏味。但如果初学者没有判别这种结果的能力，我不推荐随意的跳过。）对于不少基础的命题，自己不看书亲手证明一遍是很有必要的。

阅读一小节之后，由于对这一小节的记忆尚新，读者处于做相关练习的最佳状态。这时做练习的话，不仅仅能巩固所学的知识，也能提振读者阅读的信心和兴趣（如果这些练习非常好的话）。

笔记是比较个人化的一个方面，但我觉得我的方法是相当有效的。下面我讲一下我是如何记笔记的。

读书的时候我通常把书中几乎所有内容抄进LaTeX；如果时间允许，做尽量多的练习。当然不是一样照抄；如果你觉得某段可以忽略，就不抄那一段。这样做的好处有以下几点。(a) 如果你有自己的新的想法，你可以随时随地在合适的地方插入这些想法。(b) 如果某段证明有并不显然的逻辑跳跃，你可以不受限地增添细节。如果有逻辑谬误，你甚至可以重写这段证明。(c) 与此同时，书的整体结构仍被保留。(d) 记练习非常方便。

如果你先前只记过纸张笔记，那么我强烈建议你开始使用LaTeX做笔记。LaTeX笔记可以说在所有方面都优于纸张笔记：

(a) 占用空间非常少。如果一个人一年时间都花在数学上，并且记过一些比较基础的内容，那么这一年内大概要打出1000页A4纸以上LaTeX笔记（我的数据）。转换成纸张就是500页A4纸。但LaTeX文件不过就是100余MB（我的数据）。

(b) 内容检索速度远超过纸张。

(c) 排版没有限制，可以在任何地方插入新的内容。

(d) 字体干净，TikZ画出的图也干净。

如果说有什么顾虑，就是数据丢失（但是这种事情发生的几率已经跟纸张笔记被毁几率差不多）。如果存有这种顾虑，不妨使用某些网盘自动同步的服务（我自己用的是Google网盘）。