阅见书香第一季第9期 | 刘玛丽:有模有样的数学课堂

有“模”有样的数学课堂

在数学课程标准修订过程中，新增加了一个核心词：模型思想，史宁中教授在《数学思想概论》中曾提到：“至今为止，数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象，推理，模型，其中抽象是最核心的。在现实生活中得到数学的概念和运算法则，得到数学的发展，然后建立数学与外部的联系。”由于抽象思想蕴含在多个核心概念词内，新课程标准中并没有单独罗列，那为什么“推理”可以称为“能力”，而把“模型”称为“思想”呢？数学建模是否就是数学教育中的问题解决？如何将模型思想融入教学实践？在曹培英老师的《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》一书这些问题皆可找到答案。

一、数学建模是否就是数学教育中的问题解决

“模型思想”与数学核心素养中的数学建模是一脉相承的，数学建模想必很多老师都不陌生，这是很多大学数学专业开设的一门课程，关于数学教育中的问题解决与数学建模，在《跨越断层》一书中，提出了以下两点实质性的区别：

1.问题的呈现不同

“通常的数学问题即使是来自日常生活的数学实际问题，但现实情境经过了提炼与加工，删掉了大部分非数学的信息；条件总是充分的，甚至都是必要的，且一定有解。而数学建模的问题，常常要面对一些看起来是非数学的现象，条件有可能是缺失的，必要条件与非必要条件可能并存，且可能不存在最优化的解，甚至无解。”

2.两者过程有别

“解决通常的数学实际问题，学生的任务总是从中发现正确的运算形式并执行运算。而数学建模必须透过现象，识别出重要的因素，确定它们之间的关系，用数学语言说明或表达这些关系。因此，它对数学思维能力的要求比较高。”

由此可知，数学建模是比通常的问题解决要困难的，考虑到实际的课堂教学，很难有时间或机会让学生经历完整的数学建模的过程，数学问题解决只是数学建模的一个初级训练，是数学建模的一个简化过程，书中给出了简化前后的流程图，如下所示：

二、为什么把“模型”称为“思想”

课标2011版中关于“模型思想”的阐述包含以下三层内容：第一，模型的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。即模型思想的主要功能。第二，建立和求解模型的过程包括:从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义，即数学建模的简要过程与表现形式；第三，这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识，即形成模型思想的其他作用。

对于模型思想的内涵，在《跨越断层》一书中是这样解读的：“第一句话是建立模型思想的教学定位，尽管模型思想在现代化进程中非常重要，但在义务教育阶段，它主要是‘学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径’。第二句话是对数学建模过程的刻画，删繁就简，突出了它的三个主要环节。同时，也间接表明了这里采纳的是数学模型的狭义解释。第三句话进一步指出，这些过程性内容的学习，只是‘有助于’学生‘初步’形成模型思想，旨在‘提高学习数学的兴趣和应用意识’，而不是真正建立模型思想，更不用说‘数学建模能力’了。”

三、如何将模型思想融入教学实践

关于如何将模型思想融入教学实践，曹培英老师在本章中给出以下几点建议：“加强数学建模的专题教学；引导学生用数学的眼光去观察周围的事物；重视数学基础知识的理解与基本技能的掌握；与符号意识的培养和方程、函数思想的渗透相结合；与几何直观的应用和语言描述能力的培养相结合。”下面笔者仅就第1点和第5点谈谈自己在教学中的一些做法。

1.加强数学建模的专题教学

书中提到：“建模教学应当让学生经历从建模准备到模型应用的全过程，这在小学有一定的困难，因而数学建模的专题教学一直是小学数学的弱项。要有所突破，首要的瓶颈是问题设计，这对于很多老师是有一定难度的，需要备课组的集体力量去设计。另外，可以借助教材中问题解决的过程去进行数学建模教学，在本章中提到：“模型思想蕴含一般化的思想，即要求我们将一个问题的解决，拓展为一类问题的解决；模型思想也反映了结构化的思想，多题一解和一题多变有助于学生感悟原型间的联系，有利于提高学生学习数学的兴趣和应用意识，有助于学生初步形成模型思想。”由此说明，我们也可以根据教材内容设计一些变式训练。下面我以五年级下册的“植树问题”谈一谈我的体会：

首先创设问题情境，学生抽取信息，为丰实模型做准备，接着学生进行动手操作，化繁为简，提出模型假设，然后教师提供学习素材，学生发现规律，验证假设，通过抽象概括建构模型。最后也是最重要的一步，进行拓展迁移，运用模型解决一类问题，例如“路灯问题”，“跑道上每隔10米插小旗”的问题等等。另外在教学封闭图形植树问题时，可以启发学生将圆圈拉直变成线段，发现封闭图形植树问题与一端栽一端不栽植树问题的内在联系，使学生明白两个问题本质相同，解决问题的方法也一样，从而建构对植树问题的系统认知。

2.与几何直观的应用和语言描述能力的培养相结合

在《求比一个数多（少）几的数》这节课的教学过程中，我尽可能让学生经历解决问题的全过程，提出问题后先找到解决问题所需要的信息，接下来不是模型的建立，而是通过画图的方式将收集到的数学信息抽象为直观的线段图，引导学生画图的过程是一个由直观到抽象的渐进过程，通过画图可以帮助学生分析数量关系，进而建立正确的数学模型，在此过程中需要学生通过语言表达根据自己画的图说清图意。将数形结合思想融入数学教学活动中，通过几何图形展示数量之间的关系，也可以有利于模型思想的渗透。

上海市特级教师，正高级教师;上海市名师培养基地主持人;教育部课程教材研究所兼职研究员;中国教育学会小学数学教学专业委员会学术委员会副主任，上海市教育学会中小学数学教学专业委员会副理事长。先后参加1986年小学数学教学大纲的修订和1992年义务教育小学数学教学大纲的研制与起草，以及上海市二期课改中小学数学课程标准的起草与修改，先后参加了人民教育出版社1986年至今各套小学数学教材的编写。参与研究的课题曾获第一届全国教育科学研究优秀成果一等奖，上海市第十一届教育科学研究优秀成果一等奖等。著述逾200万字专著《小学数学教学改革探析一一在规矩方圆中求索》被收入中国特级教师文库。