当我们谈论数学时,我们在谈论什么?

1 数学研究的对象

数学是人们追求简单化而产生的. 早期的人类以打猎为生，为了计算猎物的数量，他们用石刀在树上刻痕或结绳计数. 一个刻痕或者一个绳结代表一个猎物，从单个个体可以抽象出了数字“1”的概念. 形成了数字“1”的概念后，1就不再具体的表示一种猎物了. 可以是一头狮子，也可以是一头麋鹿，还可以是一棵树，当然也可以是一个人、一座山、一个苹果……关于数字“1”具体的例子，生活中比比皆是，而数学中抽象化的“1”只存在于人的头脑中. 再看加法和减法的产生. 让我们想象一下，一个原始人两天打猎的生活. 昨天打来的猎物没有吃完，今天又阳光明媚，万里无云的，真真是个外出捕猎的好日子. 猎物增加了，就产生了加法. 美滋滋地睡了一觉后，第二天发现，我的妈呀，外面雷电交加、疾风骤雨，吓死我这个原始人了. 不行，不行，今天不能打猎了，就吃昨天打来的吧. 猎物减少了，于是产生了减法…… 这是数学研究的第一类对象：数量关系.

早期的数学发展是和人类实际生活息息相关的. 农耕文明时期，种植和收获庄稼是人们赖以生存的主要手段. 种植需要土地，而丈量土地是当时的人们不得不解决的问题. 比如说如何把一块长方形、三角形、平行四边形的土地平均分成两块，一半种玉米，一半种大豆. 当时的人们不像现代人类，拥有皮尺、卷尺和测量仪等工具，无法知道用来种植的土地有多长、多宽. 但是人类的智慧是无穷的，当时具有数学家头脑的人想出了如何画出一个直角、找出一条线段的中点、求出一个角等于已知角、将已知角划分为两个相等的角等等的办法. 这样，人们就可以把一块长方形、三角形、平行四边形的土地划分为相等两部分，或者再划分出一块新的土地和原来的土地面积相等. 注意，以上的一切都是没有用到度量的，也就是说当时的人们是没有刻度尺的. 这就开辟了数学一个全新的领域，像这种没有数字（度量）的数学，我们称之为几何. 前面说的都是在一条直线或同一个平面里面进行的几何研究，是一维和二维的空间. 人类生存的空间是三维的立体空间，不仅有平面图形，还有很多立体图形. 而数学中许多在低维空间成立的命题，推广到更高维也是成立的. 这就是数学研究的第二类对象：空间形式.

数学研究的第三类对象，或者说是研究对象的统称：模式结构.数学家哈代曾经说过：“一位数学家就像一位画家或诗人，是模式的创造者.如果他的模式比画家或诗人的模式的生命更加长久的话，那是因为他的模式是用思想所创造的.”这里的“模式”含义十分广泛.首先，它当然包括前面提到的数量关系和空间形式，而且还包括数学抽象后的各类模型和结构.数学是关于模式的科学，而大自然中的模式应有尽有.^[1]虽然关于数学是发明还是发现的争论不休，但这并不妨碍我们使用数学整理宇宙间的规律，使其简单明了. 倘若宇宙中真的存有外星文明，他们有着和我不同的模样，讲着不同的语言，怎样才能和他们交流呢？答案是使用数学. 数学将作为一种语言，搭建起与外星文明沟通的桥梁. 地球上早期的各个文明互不交流，无法沟通，数学上却能取到相同的成果. 如勾股定理也叫作毕达哥拉斯定理，是因为在中国和希腊的数学家都独立的发现了：在直角三角形中，两直角边长的平方和等于斜边长的平方. 事实上，勾股定理就曾被选定作为媒介，向外星人传达信号，其他地方存在数学文明，并发展到了一定程度. 如此看来，数学是开启宇宙之门的钥匙.

2 诗意的数学世界

数量关系的大厦是从自然数“1”开始的，而空间形式的大厦是从“点”开始的. “1”和“点”在现实生活中是不存在的，它们只存在于人的头脑中，是抽象的.小学毕业后计算1+2=3，你想到的还是一个苹果加上两个苹果等于三个苹果吗？不是的. 你能在现实生活中找到一个数学中定义的完美的圆吗，能找到一个完美的球？是不可以的.这是因为，经历从现实世界抽象出数量关系、空间形式和模式结构的过程后，数学世界已经是有别于现实世界的另一个世界了. 就像作家王小波说的：“一个人只拥有此生此世是不够的，他还应该拥有一个诗意的世界.”在我看来，数学就是这样一个诗意的世界，数学来源于实际却高于实际，一旦进入数学世界，并不一定非要处处联系实际.数学世界的画卷正在展开……

画两条不一样长的线段，我们知道线段是由点构成的. 你能想象吗，在短线段上的点与长线段上的点之间建立一一对应之后，长线段上的点和短线段上的点是一样多的，尽管这看起来是不可思议的.

太极分两仪，正义与邪恶势不两立，美丽与丑陋是对立的，光明与黑暗界限分明……似乎事物总有两面性.在数学世界却不尽然. 莫比乌斯环就是只有一面的环. 你只需要将一张长方形的纸旋转180度，再对接两头，就可以轻松的制作出一个莫比乌斯环. 克莱因瓶是另一个例子. 在我们的生活中，似乎所有的器皿，如瓶子、杯子、茶壶等都有内部和外部之分. 数学世界中的克莱因瓶是没有内外之分的，或者说内部就是外部，外部就是内部.

请看两个问题.

问题一：现有煤气灶、自来水龙头、空水壶摆在您面前. 当您要烧开水时，您应当怎么做呢？

问题一的答案是，将水壶注满水，点燃煤气，将水壶放在煤气灶上，等待.

问题二：现有煤气灶、自来水龙头、注满水的水壶摆在您面前. 当您要烧开水时，您应当怎么做呢？

数学家的回答是：将壶中的水倒掉！

这样，问题二就变成问题一了. 这正是数学的可爱之处，也正是数学中的化归、等价转换思想，总是把未解决的问题转化成已经解决的问题.

3 数学之美

数学有简洁之美. 数学本就是人类为追求简单化而产生的. 数学家们通过抽象的方法，过滤掉事物的感性属性，还原这个世界最本质的特征，以便于更好的认识和改造这个世界. 比如说，从现实世界中抽象出的几何图形的过程是忽略掉了事物的物理、化学等属性，抽象出长方形、三角形、正方体、圆柱等等，只物体的形状、大小和位置. 抽象出这几类图形后，人们就可以自由地组合、变形，添加感性的属性后，再还原到现实世界，就可以创造新的事物了. 这还不算完，几何图形进一步可以拆解为点、线、面，这是简化之后的再简化. 因此，对复杂的现实世界的研究可以归结为对一些基本图形的研究，而对一些基本图形的研究又可以归结为研究点与点、点与线、线与线、线与面等之间的关系. 简直精彩至极.

数学有精确之美.直线与圆相切，意味着直线与圆仅相交于一点. 点是没有大小的，相交于一点，人的眼睛是无法分辨的. 数学精确到可以解决微观的粒子问题.

数学有严谨之美.数学的严谨性告诉我们，既然追求真理就要贯彻到底.下图中和互为对顶角，和似乎一看就是相等的. 数学家却不相信这种直觉，《几何原本》中欧几里得对“对顶角相等”做了严格的证明. 这也是初中生遇到的第一个被严格证明的命题. 这是启迪中学生数学严谨性的开端. 世界上没有纯粹理性的人，人都是感性. 生活中，人们相信“眼见为实”或者将自己既定的“想法”当成了的事实，从而看不见真相，造成了多少误会. 数学的严谨性是代表人类理性的那一面.

数学的举反例思想更是无与伦比，如何反驳“世界上所有的天鹅都是白色的”，仅需要找到一只黑天鹅即可.但是举不出反例，并不代表该命题是正确的. 哥德巴赫猜想至今举不出一个反例，但因为未被严格证明，所以不能被认为真正意义上的正确.

数学有概括之美.数学抽象只是数学的方法和过程，抽象是过程，概括是结果. 概括性是数学的大杀器，往往能以有限的模式驾驭无穷的具体. 我们只要给定了一个数学概念的定义，就是概括性的体现. 例如三角形的定义：“三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形. ”三角形有大有小，大的可以大到地球都放不下，小的可以小到用显微镜才能看到. 但是，只要一个平面图形满足上面的三角形定义，它就是三角形. 再如，平面向量基本定理. 平面上有多少个向量？向量有长有短，长至十万八千里，短至1纳米，还有无穷无尽的方向，这么多无穷无尽的向量如何掌控......对于平面上任意一个非零向量，在这个平面上随意选定两个不共线的向量i, j，分别过起点A和终点B作直线a平行于i, 直线b平行于j, 因为i和j不共线, 所以直线a, b必然交于一点, 根据向量的三角形法则和数乘向量就可得出^[2]这么多无穷无尽的向量居然可以只用两个不共线的已知向量i和j线性表示.

数学有统一之美.代数和几何是统一的. 实数和数轴上的点可以建立一一对应的关系. 曲线上点的坐标和方程的解可以统一起来. 一元二次方程、一元二次不等式统一在二次函数. 椭圆、双曲线、抛物线统一成圆锥曲线. 正因为数学是这样充满联系的整体，学会用不同的眼光看问题，会得到意想不到的结果. 比如说，都是实数，并且试求

的最小值^[3]. 如果从代数的角度看，可以运用实数绝对值定义，分类讨论打开绝对值号. 还可以先从代数角度考虑，直接把

看作一个分段函数，然后结合函数图像求最小值. 但是，这两种方法，

代数的运算过程都十分繁琐. 如果我们直接以数轴作为思维工具，明白不过就是表示点x和点a之间的距离，

不过就是表示点x到点a,b,c的距离之和. 这道题立马变得太简单了！

4 数学的欣赏

常常被誉为数学中最美妙的一个公式，复数范围内最重要的5个数竟然这么和谐的相处在同一个等式中. 这种感觉就像是你最喜欢的5个电影明星竟然同框出现在同一部电影中，并且都贡献了精彩的演出；这种感觉也像是你竟然收集了5个最爱的奥特曼手办，那一刻你变成了光；这种感觉还像是你竟然集齐了散落各处的七龙珠，成功召唤神龙.

王维有诗云：“大漠孤烟直，长河落日圆.”如果把大漠看作一条水平直线，那么孤烟就是和它垂直的射线，垂直相交之美，呼之欲出，并且直线和射线的无限延伸正符合大漠无边无际和孤烟袅袅上升之意，辽阔和博大的意象全出；如果把长河看作一条水平直线，把落日看作一个运动着的圆，夕阳西下直到夜幕降临的动态过程正是圆与直线从相离、相切再到相交的过程.“落日”消失的瞬间其实是与“长河”在另一边相切，尔后继续相离，另一天出于东山之上.

再看陈子昂的诗：“前不见古人，后不见来者. 念天地之悠悠，独怆然而涕下. ”从数学的角度来欣赏这首诗：诗人以自己所在的时间点为原点，前不见古人是时间轴的负无穷，后不见来者是时间轴的正无穷，念天地之悠悠是诗人生存的三维空间. 时间轴和三维空间不正是爱因斯坦的四维时空吗.^[4]穿越古今，宇宙无穷，感时伤怀，妙不可言. 这是爱好文学和爱好数学之人可以共通的意境.

5 结语

或许你还感受不到上面所说的数学之美，或许你赞同“数学学到加减乘除就够了”这样的观点，或许你一听到数学这两个字想到的是“各种枯燥的符号公式和无休无止的计算”，或许你认为自己一辈子都不会用到数学，或许你知道数学很有用但实在不喜欢数学，或许你知道数学很有用但说不上用在哪里，或许……何不“让子弹飞一会”，金庸先生的小说《倚天屠龙记》中张无忌小时候住在冰火岛，他的义父谢逊逼迫他背下许多武功要诀，还说“虽然你现在不懂，但先记着，将来总会懂的”. 数学就类似那些武功要诀，初学不解其中味，只觉得痛苦和枯燥. 等烂熟于心后，慢慢地理解了，才感受到其中的妙处. 所以欣赏数学的前提是理解数学. 没有理解才会有伤害，才会有“数学无用论”. 艺术欣赏里文字有情，音乐有声，绘画有色……数学欣赏却不同于以上艺术，数学是精确、严谨、概括、统一、简洁的，有自己独特的美感. 正如数学家莫里斯·克莱因所说：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切. ”如此美妙的学科，何不试着去学习它、理解它，进一步感受它无与伦比的魅力.

如果有一天，地球面临毁灭，世界上的书籍即将焚烧殆尽. 你的面前摆着两本著作：欧几里得的《几何原本》和莎士比亚的《悲喜剧精选》，只能将一本书带到人类生存的另一个星球，你会选哪本？我的选择是《悲喜剧精选》，理由倒不是人类进入另一个星球生存后，更需要精神文明的延续.不选择《几何原本》的原因仅仅是：没有必要.数学因追求简单化而产生，以思维为基础创造模式，模式再生模式，思维不死，数学不灭. 只要宇宙中还有一根会思考的芦苇，数学就永远不会消亡.

欢迎来到精彩的数学世界.

参考文献

[1]胡典顺.数学究竟是什么[J].数学教育学报,2011,20(01):76-79.

[2]何小亚．数学：大道至简，驾驭无穷［Ｎ］．人民日报海外版，2020-09-28(9)．

[3]孙维刚. 孙维刚初中数学[M]. 北京：北京大学出版社, 2015.

[4]张奠宙. 数学教育纵横[M]. 广西：广西教育出版社，2019.