【高中】干货丨等差数列求和公式有七种方法,还有一些特殊性质!

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意：余下的项具有如下的特点

1、余下的项前后的位置前后是对称的。

2、余下的项前后的正负性是相反的。

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值时命题成立；

（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

【例】求证：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .……+ n(n+1)(n+2)(n+3) =[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

证明：当n=1时，有：1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假设命题在n=k时成立，于是：1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .……+ k(k+1)(k+2)(k+3) =[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

则当n=k+1时有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + ……+ (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + ……+ k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证

（常采用先试探后求和的方法）例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n

方法一：（并项）求出奇数项和偶数项的和，再相减。

方法二：（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]

方法三：构造新的数列，可借用等差数列与等比数列的复合。an=n(-1)^（n+1）

（1）a(n+1)--a(n)=d (d为常数、n ∈N*）[或a（n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常数]等价于{a(n)}成等差数列。

（2）2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。

（3）a(n)=kn+b [k、b为常数,n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。

（4）S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B为常数，A不为0，n ∈N* ]等价于{a(n)}为等差数列。

在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和；特别的，若项数为奇数，还等于中间项的2倍。即，a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中

【例】

数列：1，3，5，7，9，11中a(1)+a(6)=12 ; a(2)+a(5)=12 ; a(3)+a(4)=12 ;即，在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和。
数列：1，3，5，7，9中a(1)+a(5)=10 ; a(2)+a(4)=10 ; a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ;即，若项数为奇数，和等于中间项的2倍，另见，等差中项