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发布于 2021-09-08 12:46 ,所属分类:数学资料学习库

数列是公比为正数的等比数列,
,
;数列
前
项和为
,满足
,
.
(1)求,
及数列
,
的通项公式;
(2)求.


【答案】
(1),
,
,
,
,
,
(2),
【解析】
(1)方法一:(数列定义)易知,可得
,故
,
;
,
,
,则
,
,两式相减得
,则
,
,同理两式相减得
,
,则
为等差数列,故
,
.
(1)方法二:(数学归纳法)
同方法一,猜想,
,然后再利用数学归纳法证明.
(2)方法一:利用错位相减法求和,由(1)可知,
,则
,两式相减整理得,
,
.
(2)方法二:利用裂项求和,由(1)可知,注意到
,再采用裂项相消法求和.
(1)方法一:(数列定义)
易知,解得
或
,又公比为正数,则
,故
,
;
,
,
,则
,
,两式相减得
,则
,
,同理两式相减得
,
(注:
,
也符合),则
为等差数列,故
,
.
(1)方法二:(数学归纳法)
易知,解得
或
,又公比为正数,则
,故
,
;
,
,猜想
,
,用数学归纳法证明.
①当时,
成立;
②假设当时,
成立,
当时,
,则
,即
,故当
时,结论也成立.由①②可知,对于任意的
,
均成立.
(2)方法一:(错位相减法求和)
由(1)可知,
,
则,两式相减整理得,
,
.
(2)方法二:(裂项求和)
由(1)可知,注意到
,
故,
.

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