2022年高考数学高三大一轮复习第8章解析几何8.7抛物线

2022年高考数学高三大一轮复习

第8章 解析几何

§8.7 抛物线

§8.7　抛物线

考试要求1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．

1．抛物线的概念

(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹．

(2)焦点：点F叫做抛物线的焦点．

(3)准线：直线l叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程和简单几何性质

标准方程	y2＝2px(p>0)	y2＝－2px(p>0)	x2＝2py(p>0)	x2＝－2py(p>0)
图形
范围	x≥0，y∈R	x≤0，y∈R	y≥0，x∈R	y≤0，x∈R
焦点
准线方程	x＝－	x＝	y＝－	y＝
对称轴	x轴		y轴
顶点	(0,0)
离心率	e＝1

微思考

1．抛物线定义中，若l经过点F，则点的轨迹会怎样？

提示　若l经过点F，则到F与到l距离相等的点的轨迹是过点F且与l垂直的直线．

2．怎样计算抛物线的焦半径(抛物线上的点到焦点的距离)？抛物线的焦点弦的最小值是多少？

提示　抛物线y²＝2px(p>0)上一点P(x₀，y₀)到焦点的距离(焦半径)为x₀＋；抛物线的焦点弦的最小值是2p(通径的长度)．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×)

(2)方程y＝ax²(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(×)

(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)

(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(×)

题组二　教材改编

2．过抛物线y²＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)两点，如果x₁＋x₂＝6，则|PQ|等于()

A．9B．8 C．7 D．6

答案　B

解析　抛物线y²＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x₁＋1＋x₂＋1＝x₁＋x₂＋2＝8.

3．抛物线y²＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为______．

答案　2

解析　设P(x₁，y₁)，则|PF|＝x₁＋2＝5，得x₁＝3，y₁＝±2.故满足条件的点的个数为2.

4．已知A(2,0)，B为抛物线y²＝x上一点，则|AB|的最小值为________．

答案

解析　设点B(x，y)，则x＝y²≥0，

所以|AB|＝＝＝＝.

所以当x＝时，|AB|取得最小值，且|AB|_min＝.

题组三　易错自纠

5．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是()

A．y²＝x B．x²＝y

C．y²＝－x D．x²＝－y

答案BC

解析　设抛物线的标准方程是y²＝kx或x²＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，

所以y²＝－x或x²＝y.

6．设抛物线y²＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是______．

答案　[－1,1]

解析　Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k²x²＋(4k²－8)x＋4k²＝0，

由Δ＝(4k²－8)²－4k²·4k²＝64(1－k²)≥0，

解得－1≤k≤1.

题型一抛物线的定义和标准方程

1．(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y²＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于()

A．2B．3 C．6 D．9

答案　C

解析　设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋＝12.

又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，

所以9＋＝12，

解得p＝6.

2．设抛物线y²＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为()

A．x＝－4 B．x＝－3

C．x＝－2 D．x＝－1

答案A

解析　直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4,0)，∴抛物线y²＝2px的焦点为(4,0)，∴准线方程为x＝－4.

3．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．

答案y²＝4x

解析　设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y²＝4x.

4．(2020·佛山模拟)已知抛物线x²＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y₀)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|＝|PF|，则y₀＝________，p＝________.

答案24

解析　作PM⊥l，垂足为M，由抛物线定义知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝|PF|，

∴在Rt△PKM中，sin∠PKM＝＝＝，

∴∠PKM＝45°，∴△PMK为等腰直角三角形，∴|PM|＝|MK|＝4，又知点P在抛物线x²＝2py(p>0)上，

∴解得

思维升华 (1)应用抛物线定义的两个关键点

①由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．②抛物线焦点到准线的距离为p.

(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．

题型二抛物线的几何性质及应用

命题点1　焦半径和焦点弦

例1 (1)已知抛物线y²＝2px(p>0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为()

A．4 B．9

C．10 D．18

答案　C

解析　抛物线y²＝2px的焦点为，准线方程为x＝－.

由题意可得4＋＝9，解得p＝10，

所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.

(2)设F为抛物线C：y²＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()

A. B. C. D.

答案　D

解析　由已知得焦点坐标为F，

因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.

方法一　联立直线方程与抛物线方程化简得4y²－12y－9＝0，Δ>0显然成立，

则y_A＋y_B＝3，y_Ay_B＝－，

故|y_A－y_B|＝＝6.

因此S_△OAB＝|OF||y_A－y_B|＝××6＝.

方法二　联立直线方程与抛物线方程得x²－x＋＝0，

Δ>0显然成立，故x_A＋x_B＝.

根据抛物线的定义有|AB|＝x_A＋x_B＋p＝＋＝12，

同时原点到直线AB的距离为d＝＝，

因此S_△OAB＝|AB|·d＝.

命题点2　与抛物线有关的最值问题

例2 (1)已知抛物线y²＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．

答案　2

解析　由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依据抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.

(2)设P是抛物线y²＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．

答案　

解析　如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，

由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．

于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，

显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，

此时最小值为＝.

思维升华 (1)由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．

(2)与抛物线有关的最值问题的两个转化策略

转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．

转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．

跟踪训练1 (1)已知抛物线x²＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()

A. B. C．1 D．2

答案　D

解析　由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA₁⊥l交l于点A₁，过点B作BB₁⊥l交l于点B₁，设弦AB的中点为M，过点M作MM₁⊥l交l于点M₁，则|MM₁|＝.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA₁|＋|BB₁|≥6，2|MM₁|≥6，|MM₁|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故选D.

(2)若抛物线y²＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是()

A．2B. C. D．3

答案　A

解析　由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y²＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.故选A.

题型三直线与抛物线

例3 (2021·湖州模拟)如图，已知抛物线x²＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

(1)求直线AP斜率的取值范围；

(2)求|PA|·|PQ|的最大值．

解(1)设直线AP的斜率为k，

k＝＝x－，

因为－<x<，

所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．

(2)联立直线AP与BQ的方程

解得点Q的横坐标是x_Q＝.

因为|PA|＝＝(k＋1)，

|PQ|＝(x_Q－x)＝－，

所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)³.

令f(k)＝－(k－1)(k＋1)³，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)²，

所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，

因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值.

思维升华 (1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x₁＋x₂＋p，若不过焦点，则可用弦长公式．

跟踪训练2 (1)(2020·济南期末)直线y＝x＋b交抛物线y＝x²于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为()

A．－1B．0 C．1 D．2

答案D

解析　设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，将y＝x＋b代入y＝x²，化简可得x²－2x－2b＝0，故x₁＋x₂＝2，x₁x₂＝－2b，所以y₁y₂＝x₁x₂＋b(x₁＋x₂)＋b²＝b².又OA⊥OB，所以x₁x₂＋y₁y₂＝0，即－2b＋b²＝0，则b＝2或b＝0，经检验b＝0时，不符合题意，故b＝2.

(2)已知F为抛物线C：y²＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l₁，l₂，直线l₁与C交于A，B两点，直线l₂与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()

A．16B．14 C．12 D．10

答案A

解析　抛物线C：y²＝4x的焦点为F(1,0)，由题意可知l₁，l₂的斜率存在且不为0.不妨设直线l₁的斜率为k，则直线l₂的斜率为－，故l₁：y＝k(x－1)，

l₂：y＝－(x－1)．

由消去y得k²x²－(2k²＋4)x＋k²＝0.

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，∴x₁＋x₂＝＝2＋，

由抛物线定义可知，|AB|＝x₁＋x₂＋2＝4＋.

同理得|DE|＝4＋4k²，

∴|AB|＋|DE|＝8＋4k²＋≥8＋2＝16.

当且仅当＝k²，即k＝±1时取等号．

故|AB|＋|DE|的最小值为16.

课时精练

1．(2019·全国Ⅱ)若抛物线y²＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于()

A．2B．3 C．4 D．8

答案　D

解析　由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.

2．(2020·全国Ⅲ)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y²＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为()

A. B. C．(1,0) D．(2,0)

答案　B

解析　方法一　∵抛物线C关于x轴对称，

∴D，E两点关于x轴对称．

可得出直线x＝2与抛物线的两交点的坐标分别为(2,2)，(2，－2)．

不妨设D(2,2)，E(2，－2)，

则＝(2,2)，＝(2，－2)．

又∵OD⊥OE，

∴·＝4－4p＝0，解得p＝1，

∴C的焦点坐标为.

方法二　∵抛物线C关于x轴对称，

∴D，E两点关于x轴对称．

∵OD⊥OE，∴D，E两点横、纵坐标的绝对值均相等．

不妨设点D(2,2)，将点D的坐标代入C：y²＝2px，

得4＝4p，解得p＝1，故C的焦点坐标为.

3.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m．若水面下降1m，则水面宽度为()

A．2m B．4m C．4m D．12m

答案B

解析　由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，

设抛物线方程为x²＝－2py(p>0)，

由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4，－2)，

代入抛物线方程解得p＝4，

所以抛物线方程为x²＝－8y，

水面下降1米，即y＝－3，解得x₁＝2，x₂＝－2，

所以此时水面宽度d＝2x₁＝4.

4．(2020·北京)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线()

A．经过点O B．经过点P

C．平行于直线OP D．垂直于直线OP

答案　B

解析　如图所示，P为抛物线上异于O的一点，

则|PF|＝|PQ|，

∴QF的垂直平分线经过点P.

5．(多选)设抛物线y＝ax²(a>0)的准线与对称轴交于点P，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A和B，则()

A．点P的坐标为

B．直线AB的方程为y＝

C．PA⊥PB

D．|AB|＝

答案ABC

解析　由y＝ax²得，x²＝y，则焦点F.

∵a>0，∴2p＝，∴p＝，

其准线方程为y＝－，∴P，A正确；

设切线方程为y＝kx－(k≠0)，由

得ax²－kx＋＝0，

令Δ＝k²－4×a×＝0，解得k＝±1.

∴设切点A，B，

因此直线AB的方程为y＝，B正确；

又＝，＝，

∴·＝－＋＝0.

从而⊥，即PA⊥PB，C正确；

|AB|＝＝，D错误．

6．(多选)已知抛物线C：y²＝2px(p>0)的焦点为F，斜率为且经过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是()

A．p＝2 B．F为AD的中点

C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2

答案ABC

解析　如图．

F，直线l的斜率为，

则直线l的方程为y＝，

联立

得12x²－20px＋3p²＝0.

解得x_A＝p，x_B＝p，

由|AF|＝p＋＝2p＝4，得p＝2.

∴抛物线方程为y²＝4x.

x_B＝p＝，

则|BF|＝＋1＝；

|BD|＝＝＝，

∴|BD|＝2|BF|，

|BD|＋|BF|＝＋＝4，则F为AD的中点．

故选ABC.

7．(2020·新高考全国Ⅰ)斜率为的直线过抛物线C：y²＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.

答案　

解析　如图，由题意得，抛物线焦点为F(1,0)，

设直线AB的方程为y＝(x－1)．

由

得3x²－10x＋3＝0.

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则x₁＋x₂＝，所以|AB|＝x₁＋x₂＋2＝.

8．已知直线l是抛物线y²＝2px(p>0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F与l相切，则抛物线的方程为________．

答案　y²＝8x

解析　∵半径为3的圆与抛物线的准线l相切，

∴圆心到准线的距离等于3，

又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，

∴＋＝3，∴p＝4，故抛物线的方程为y²＝8x.

9．直线l过抛物线C：y²＝2px (p > 0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝____，＋＝________.

答案21

解析　由题意知＝1，从而p＝2，

所以抛物线方程为y²＝4x.

当直线AB的斜率不存在时，将x＝1代入抛物线方程，解得|AF|＝|BF|＝2，

从而＋＝1.

当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝k(x－1)，

联立

整理，得k²x²－(2k²＋4)x＋k²＝0，

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则

从而＋＝＋＝＝＝1.

综上，＋＝1.

10．点P为抛物线y²＝4x上的动点，点A(2,1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：

(1)|PA|＋|PF|的最小值为________；

(2)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________．

答案　(1)3(2)－

解析　(1)如图1，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|，从而最小值为A到准线的距离为3.

(2)如图2，当P，A，F三点共线，且P在FA延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为－|AF|＝－.当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF|＝.故|PA|－|PF|的最小值为－，最大值为.

11．定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y²＝x上移动，求AB的中点到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点的坐标．

解　如图所示，F是抛物线y²＝x的焦点，

过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为C，D，

过AB的中点M作准线的垂线MN，垂足为N，

则|MN|＝(|AC|＋|BD|)．

连接AF，BF，由抛物线的定义知|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|，

所以|MN|＝(|AF|＋|BF|)≥|AB|＝.

设点M的横坐标为x，则|MN|＝x＋，

所以x≥－＝.

当弦AB过点F时等号成立，

此时，点M到y轴的距离最短，最短距离为.

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＝2x.

当x＝时，易知y₁y₂＝－p²＝－，

所以(y₁＋y₂)²＝y＋y＋2y₁y₂＝2x－＝2.

所以y₁＋y₂＝±，得y＝±，即M.

12．(2021·沈阳模拟)已知抛物线C：x²＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l₁，l₂，且l₁与l₂交于点M.

(1)求p的值；

(2)若l₁⊥l₂，求△MAB面积的最小值．

解(1)由题意知，抛物线焦点为，

准线方程为y＝－，

焦点到准线的距离为2，即p＝2.

(2)由(1)知抛物线的方程为x²＝4y，

即y＝x²，所以y′＝x，

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

l₁：y－＝(x－x₁)，

l₂：y－＝(x－x₂)，

由于l₁⊥l₂，所以·＝－1，

即x₁x₂＝－4.

设直线l的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立，

得

所以x²－4kx－4m＝0，Δ＝16k²＋16m>0，

x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－4m＝－4，所以m＝1，即l：y＝kx＋1.

联立方程得即M(2k，－1)．

M点到直线l的距离d＝＝，

|AB|＝＝4(1＋k²)，

所以S＝×4(1＋k²)×＝≥4，

当k＝0时，△MAB的面积取得最小值4.

13．抛物线x²＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是()

A．4B．3 C．4 D．8

答案　C

解析　由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|，

∵AF的斜率为，∴直线AF的倾斜角为30°，

∵AH垂直于准线，∴∠FAH＝60°，

故△AHF为等边三角形．

设A，m>0，

过F作FM⊥AH于M，则在Rt△FAM中，

|AM|＝|AF|，∴－1＝，

解得m＝2，故等边三角形AHF的边长|AH|＝4，

∴△AHF的面积是×4×4sin 60°＝4.故选C.

14．过抛物线C：x²＝4y的焦点F作直线l交C于A，B两点，设D(0,3)．若(＋)·＝0，则弦AB的长为________．

答案　4

解析　若(＋)·＝0，

则线段AB的垂直平分线过点D.

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则x＝4y₁，x＝4y₂，

两式相减得x₁＋x₂＝＝4k_AB，

即k_AB＝，

则弦AB的中点与点D(0,3)的连线的斜率k＝＝－，

所以y₁＋y₂＝2，

所以|AB|＝y₁＋y₂＋2＝4.

15．(2020·湖南名校大联考)已知P为抛物线C：y＝x²上一动点，直线l：y＝2x－4与x轴、y轴交于M，N两点，点A(2，－4)且＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________．

答案　

解析　由题意得M(2,0)，N(0，－4)，

设P(x，y)，由＝λ＋μ得(x－2，y＋4)＝λ(0,4)＋μ(－2,0)，

∴x－2＝－2μ，y＋4＝4λ.

因此λ＋μ＝－＝－＋2＝²＋≥，故λ＋μ的最小值为.

16．过抛物线y²＝2px(p>0)的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点．

(1)用p表示A，B之间的距离；

(2)证明：∠AOB的大小是与p无关的定值，并求出这个值．

解(1)焦点F，过点F且倾斜角为的直线方程是y＝x－.

由得x²－3px＋＝0.

设A(x_A，y_A)，B(x_B，y_B)，则x_A＋x_B＝3p，x_Ax_B＝，

故|AB|＝x_A＋x_B＋p＝4p.

(2)在△AOB中，由余弦定理可知，

cos∠AOB＝＝

＝＝＝－.

即∠AOB的大小是与p无关的定值，

且cos∠AOB＝－.

.

1

去年发了一年的资料就不再同步更新链接了，公号历史记录里都能看，QQ群里也都能下载，不想回翻历史记录也没关系，年年有新题，年年有新卷，接下来会同步更新新版内容的。下面的链接是历史推送里的经典资料，和一些值得一看的内容，以及同步更新的。

2

在gongzhong号对话页面菜单栏里找到这些内容：

3

下面的专题可以直接点击：

【真题专区】2011-2021高考真题240套（解析全）

【新高一】新高一数学课件PPT及解析（更新中）

【新高二】新高二数学课件PPT及解析（更新中）

【2022高三】2022高三一轮二轮（更新中）

【专题二区】数不清的数学专题（同步更新中）

【试卷三区】高考真题、笔者所在地最新模卷

收藏及下载说明

本号所有内容的PPT/word版本已经打包发到QQ群：1059198154（学习沟通群，付费进群，群内资料持续更新(包括但不限于每日推送内容，永久免费下载，本gongzhong号所发布的全部历史内容均已经上传），进群请点击左下方 ：，或长按下方ErWeiMa加好友。（注：部分内容因老师编辑时用的并非office软件，但可以在群里提供高清PDF版供下载.）

佛曰：经不可轻传，亦不可以空取，本号建立的初衷不过是能汇集一群热爱数学，钻研数学的志同道合的朋友，知识无价朋友珍贵，入群付费这个完全只是一个小小的的门槛而已。我们欢迎每一位真心坦诚的朋友。

仰望星空

风里雨里，干货不息，数学研讨，我们是专业认真的