九年级几何证明竞赛题解题思维精讲

这道题看着好像不简单的样子，条件中貌似只有2条切线和一条割线，其实从图中就可以观察出来，所以要证明这个看似很牛逼的结论，只能从这两个条件入手，而学过圆的切线和割线之后，我们知道能涉及到的知识点有切线定理、割线定理和切割线定理，所以我们可以将结论先转换为乘积的模式，即2PA·PB=PC·PA+PC·PB，PA·PB可以利用切割线定理来转换为PS²或者PT²，那么就剩下等号右边的两组乘积了。

我们先来看PC·PA和PC·PB可以怎么得来，观察图形可知PA和PC共线共端点，PB和PC也是，对于这样的两条线段相乘，我们知道可以通过有公角的两个相似三角形得来，但是，这道题中，即使我们连接AS和BS，也无法证明构造出来的三角形是相似的，所以此路不通。

那么又该如何得到PA·PC（或PC·PB）的形式呢？

我们不妨换个方向，从PS²入手，线段的平方除了可以相似得到（但这里明显不像），还有就是勾股定理吧？但是又没有直角三角形，所以我们可以构造一下，既要能转换PS²，还得最后与PA·PC扯上关系，所以我们作垂线的时候只能过P向ST做了，

如图，如此一来，PS²=PM²+SM²，

好像也没什么进展，但是线段PM和SM还是可以继续转换，

PM²=PC²-CM²，SM²=（SC+CM）²=SC²+CM²+2SC·CM

所以PS²=（PC²-CM²）+（SC²+CM²+2SC·CM）=PC²+SC²+2SC·CM

关键处来了，这里的SC²+2SC·CM看着好像很多余，所以肯定是需要转换掉的，如果提取公因式则可得

PS²=PC²+SC·（SC+2CM）

有同学可能会说，SC+2CM是什么玩意，我们只知道SC+CM=SM，

那么稍等一下，SC+2CM不就等同于SM+CM吗，而SM不是和MT左右对称吗，所以SM是可以换成MT来用的，所以SC+2CM可以转换为CT

那么PS²=PC²+SC·CT

这样的话，SC·CT是不是就很明显了？相交弦ST和AB，不用多说，

SC·CT=AC·BC

那么接下来又得转换AC·BC

AC=PC-PA，BC=PB-PC

所以SC·CT=AC·BC=（PC-PA）（PB-PC）=PC·PB-PA·PB-PC²+PA·PC

那么原PS²=PC²+PC·PB-PA·PB-PC²+PA·PC=PC·PB-PA·PB+PA·PC

PA·PB=PS²

所以2PA·PB=PC·PB+PA·PC

两边同时除以PA·PB·PC可得

2/PC=1/PA+1/PB

再同时除以2即可得题中结论；