高中数学必刷题解题思维精讲

没有图，先画个图

因为PB、BC、PC长度符合勾股定理所以可得PB⊥BC

既然要求体积，得有底面积和高，底面是等边三角形，边长已知，所以面积可以有，关键就差一个高了

我们过P作平面ABC的垂线

假设垂足为D，并连接BD和AD，那么可知BD⊥BC

那么∠DBA=30°可知

可是不知道AD和BD，没法用余弦定理，

现在是不是没什么可干呢

想想余弦定理，我们只需要BD²+AB²-AD²，关键点就是BD²-AD²

不妨试试勾股定理，找找包含BD²和AD²的式子

PD²+BD²=PB²

PD²+AD²=PA²

两式子相减可得BD²-AD²=PB²-AD²=7

所以BD²+AB²-AD²=16

那么（BD²+AB²-AD²）/(2BD·AB)=cos30°=√3/2

所以BD=16√3/9

所以PD=√(PB²-BD²)=4√11/√27

那么体积V=1/3·S△ABC·PD=√11；

题目结合立体几何与余弦定理，第一眼看去可能不知道怎么求出高，但是如果注意3、4、5这几个数，就能看出PB垂直交线BC，那么如果做PB的投影肯定也垂直BC，从而得到已知角30°，但虽然有30°角，但两边未知，余弦定理求投影线段也少个AD长，但PD构成的双直角刚好构造双勾股定理，得到AD和BD的关系，从而代入余弦定理得出BD长；