新年礼：全国初中数学竞赛题整套解析解题思维精讲

前言：

昨天才到的书，所以我也没看过，以前的基本都是一三年后的试题，今天编辑的时候也是第一次接触这套题，因此所有的方法都是老师的第一印象，并没有提前准备过程，想到哪编辑到哪，不保证每道题都能快捷简便，只是刚好符合大脑的思路，同学们可以择优而学。

分析：

1、脑残题，选项B一眼可看出就是a＞c的变形，所以选B；

2、根据韦达定理可知两根之和为-p，两根之积为1，而

（两根之差）²=（两根之和）²-4两根之积

可得1=p²-4，结合p＞0

所以可得p；

3、两条中线，而且互相垂直，而且长度已知，求△ABC面积，则只能结合已知线段，即BD和CE，所以即使不会解，也要能联想到与BD·CE有关，但是我们学过的有对角线互相垂直的四边形的面积可以这么算，但是这里是三角形，所以我们需要连接DE，构造出一个这样的四边形来，

如图，可知S四边形EBCD=0.5·BE·CE=12

现在知道了四边形EBCD的面积，再观察上半部分△AED，这不就是相似吗，D和E都是中点，DE是中位线，所以△ADE∽△ABC，相似比1:2，面积比1:4，那么S△AED：S四边形EBCD=1:3，所以可得△AED面积为4，那么△ABC面积则为16；

4、首先根据条件中的等式关系可得

a+b=pc

b+c=pa

c+a=pb

三式相加得2（a+b+c）=p(a+b+c)

所以p=2

则直线为y=2x+2，经过一、二、三象限，是不是？

注意2（a+b+c）=p(a+b+c)成立，不一定p=2，也可能a+b+c=0，题中又没说三者相加不等于0，这样的话p=-1，也符合条件，那么直线又变为

y=-x-1，经过二、三、四象限，

结合两种情况，可知该直线必过二、三象限；

5、首先解不等式组，可得a/9≤x＜b/8，整数解仅有1,2,3，那么可知

0＜a/9≤1，3＜b/8≤4（如果不明白这一步怎么得来，说明你的能力还不足以搞竞赛题，建议普通数学卷先刷刷满分）

0＜a≤9，24＜b≤32

a可取1~9，一共9个

b可取25~32，一共8个

所以可组成数对个数9×8=72个；

6、没有图，所以专门又给大家提供了图形，看着挺牛逼的，就是不知道难不难，

题中既然要求PE+PF，那么这玩意肯定是个定值，所以我们只需要思考一下如何让它们进行结合，组成一条可知的线段，既然这里出现的都是垂直，刚好还是矩形内部，所以不妨思考下相似看看能不能用上

△APF∽△ACD，可得PF：CD=AP：AC

△DPE∽△ACD，可得PE：CD=DP：AC

两个比例相加可得（PE+PF）/CD=(AP+DP)/AC

即（PE+PF）/CD=AD/AC=12/13

所以PE+PF=CD·12/13=60/13；

7、首先结合直线和抛物线可得

x²+2x-3=0

解得A（-3,9），B（1,1）

画个草图

只要将OC当做底，分别求出△OCA和△OCB的面积即可，

根据直线解析式可知C（0,3）

所以OC=3，那么根据三点横坐标可知左右三角形的高分别为3和1

那么△OCA的面积为9/2，△OCB的面积为3/2

所以△OAB的面积为6；

8、圆环套圆环，求总长度，所以需要考虑重叠问题，

如图，只有一个圆环的时候，可知长度为bcm，两个的时候，蓝色和红色重叠了环的宽度，我们可以认为增加了一个圆环，长度只增加了b-2个环宽，而环宽为（b-a）/2，那么可知加一个环，长度增加b-（b-a）=a，现在找到了规律，那么可知50个环就是一个b加上49个a，即b+49a cm；

9、条件只说了a是非负整数，但是没说不为0，所以a可能为0，

如果a=0，则方程不成立，所以舍去；

那么只剩下a≠0，也就是二次方程了

其中的2a²-13a+15一眼可看出，能够因式分解为（2a-3)·(a-5）

方程变为a²x²-（3a²-8a）x+（2a-3)·(a-5）=0

刚好还可以因式分解

[ax-（2a-3）][ax-（a-5）]=0

可得x=（2a-3）/a或（a-5）/a

即x=2-3/a或1-5/a

想要有整数解，则a为3或5的因数

非负情况下，a可取1,3,5

a为1时，两个整数解，a为3或5时，一个整数解，符合；

10、还是没有图，画个图

根据两船速度可知，B到达A的正西方时，A还距离B有5km，所以当B继续向南，A继续向西的过程中，会出现距离最近的情况，假设A的路程为x，那么B的路程为2x，忘了在中间十字路口标个O了，假设交点为O吧，那么看蓝色字母部分，OA=10-x，OB=2x-10，AB²=（10-x）²+（2x-10）²

化简AB²=5x²-60x+200=5（x-6）²+20

AB²最小值为20，那么AB距离最小2√5 km；

11、等腰直角三角形，腰长为1，E是中点，则勾股定理可得BE长度，要求△CEF的面积，只知道CE长度，不知道高，所以得需要F的位置才行，那么F的位置如何确定呢，EF和BF都未知，勾股定理肯定不行了，注意图中有一个直角∠BEF，顶点在AC上，那么不是可以构造出相似三角形吗，△BAE是个Rt三角形，所以我们将CE也放入Rt三角形中，过C做CD⊥AC交EF延长线于D，

如图，可得△ABE∽△CED，相似比=AB：CE=2:1，

所以可得ED=0.5BE=（√5）/4

然后，不要忽视了我们构造的∠DCE，CF其实是个角平分线，

所以可利用角平分线定理（注意不是性质，是定理）

所以可得CE：CD=EF：DF=2:1

所以EF=（√5）/6

勾股定理可得BF=（5√2）/6

那么CF=（√2）/6

以CF为底，E到BC的距离可知为A到BC距离的一半，为（√2）/4，

所以S△CEF=1/24；

12、与x轴只有一个交点，那么y=0可知

△=（2a+1）²-8a-5=4a²-4a-4=0

2a-1=±√5

所以a=（1±√5）/2

（2）a²=（3±√5）/2=a+1，出现a²就可以将次为a+1

a^4=（a+1）²=a²+2a+1=3a+2

a^8=（3a+2）²=21a+13

a^16=987a+610

那么a^18=（987a+610）（a+1）=2584a+1597

而a^-6=(a^-4)·(a^-2)=1/[(3a+2)(a+1)]=1/(8a+5)

那么就会出现323/(8a+5)，好像根本不能和a的18次方合并，

而323和8a如果相乘倒刚好=2584a

那能不能想办法将1/(8a+5)这个分式变成整式呢，而且还得让8a继续为8a，

我们假设1/(8a+5)=8a+b，看看化简一下能变成什么

64a²+（40+8b）a+5b-1=0

而通过第一问的判别式可知a²-a-1=0，将其扩大倍数看看

64a²-64a-64=0如果我们将40+8b=-64，则有b=-13

那么5b-1=-65-1=-66，和-64就差2，

如果是-65+1不就是-64了吗，那么怎么将这里的5b-1变成5b+1?

刚才我们假设的是1/(8a+5)=8a+b，如果设-1/(8a+5)=8a+b，

化简后不就是64a²+（40+8b）a+5b+1=0吗

这样一来，就可以得到b=-13了

那么式子就是-1/(8a+5)=8a+b=8a-13

所以a^-6=-（8a-13）=13-8a

那么原式=2584a+1597+323（13-8a）=5796；

13、最后一题了，一看就是函数应用题，这种题好像平时就会遇见，所以不算是罕见题型

（1）从A和B各调取x台到D，而D需要18台，所以x+x≤18，x≤9，并且C市只有8台，如果C市全给E市，那么A和B还得共同提供10台，所以x≥5；

那么A给E市10-x台，B给E市也是10-x台，那么C给E市2x-10台，给D市18-2x台，

所以总运费W=200x+800（10-x）+300x+700（10-x）+400（18-2x）+500（2x-10）=-800x+17200

所以x越大，费用越小，x最大为9，最小为5，

所以Wmax=-800×9+17200=10000；

Wmin=-800×5+17200=13200；

（2）A到D有x，A到E有10-x，

B到D为y，B到E为10-y，

C到D为18-x-y,C到E为x+y-10，

同时别忘了，A和B至少得给D市10台，所以x+y≥10，同时x≤10，y≤10，x+y≤18

那么W=-500x-300y+17200

同时含两个未知数，替换一下吧，组合出x+y形式

那么W=-200x-300（x+y）+17200

10≤x+y≤18

所以当x和x+y都取得最大值时，W最小

此时x=10，x+y=18，y=8，W=9800；

当x和x+y都取得最小值时，W最大

此时x=0，y=10，W=14200；

整套试题除了那道次数比较高的计算题不容易思考出方法，当然，如果真有闲工夫，并且也想不出来简便的方法，挨个平方计算出来两个单项式的结果再合并也成，只是计算量大了一些，但是至少也能在10分钟内算出来吧？这只能是其他题都搞定了，而且又实在想不出简便方法，剩下的时间也没处可用，无奈之下一步一步计算出来，当然还不能出错；

其他题难度都不大，平均5-10分钟解决一道应该是不难做到的。其中只涉及到一个角平分线定理可能偏门一些，这个应该是课本上没有要求学的，但是要玩竞赛题肯定得必备。