2021年福建省中考数学压轴题解析

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EF＝AB，G是五边形AEFCD内满足GE＝GF且∠EGF＝90°的点．现给出以下结论：

①∠GEB与∠GFB一定互补；

②点G到边AB，BC的距离一定相等；

③点G到边AD，DC的距离可能相等；

其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）

解析：动态过程如图所示

答案为：①②④．

24．如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G．

（1）求证：DE∥A′F；

（2）求∠GA′B的大小；

（3）求证：A′C＝2A′B．

解析：（1）如图，设AG与DE的交点为O，

AO＝A'O，AE＝EF，∴DE∥A'F；

（2）易证△ADE≌△BAG，

∴AE＝BG＝BF，

∴∠GFB＝∠FGB＝45°，

∵∠FA'G＝∠FBG＝90°，

∴点F，点B，点G，点A'四点共圆，

∴∠GA'B＝∠GFB＝45°；

（3）设AE＝EF＝BF＝BG＝a，

∴AD＝BC＝3a，FG＝a，

∴CG＝2a，

25．已知抛物线y＝ax²+bx+c与x轴只有一个公共点．

（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；

（2）已知点P₁（﹣2，1），P₂（2，﹣1），P₃（2，1）中恰有两点在抛物线上．

①求抛物线的解析式；

②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，且∠MAN＝90°，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．

解析：（1）把P（0，1）代入解析式得：c＝1，

∴y＝ax²+bx+1，

又∵抛物线与x轴只有一个公共点，

证明：

联立直线l和抛物线得：

即：x²﹣4kx﹣4＝0，

设M（x₁，kx₁+1），N（x₂，kx₂+1），

由韦达定理得：x₁+x₂＝4k，x₁x₂＝﹣4，

MN＝4（k²+1），设线段MN的中点为T，设A的坐标为（m，﹣1），

则T的坐标为（2k，2k²+1），

则点T到直线y＝﹣1的距离为2k²+2，

即以点T为圆心，MN为直径的圆与直线y＝﹣1想切，切点为A,

∴A（2k，﹣1），

∴B（2k，k²），

∴C（2k，2k²+1），

∴B是AC的中点，

∴AB＝BC，∴△MAB与△MBC的面积相等．