【解题研究】(2021黑龙江佳木斯26)特殊三角形斜边中线全等与相似几何探究

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2021黑龙江佳木斯26

在等腰△ADE中，AE＝DE，△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，∠ABC

试题分析

（1）由点F是BD的中点，可得EF

∵EA＝ED，∠EAD＝45°，

∴∠EAD＝∠EDA＝45°，

∴∠AED＝90°，

∵BF＝FD，

∴EF

理由：取CD的中点T，连接AT，TF，ET，TE交AD于点O．

∵∠CAD＝90°，CT＝DT，

∴AT＝CT＝DT，

∵EA＝ED，

∴ET垂直平分线段AD，

∴AO＝OD，

∵∠AED＝90°，

∴OE＝OA＝OD，

∵CT＝TD，BF＝DF，

∴BC∥FT，

∴∠ABC＝∠OFT＝45°，

∵∠TOF＝90°，

∴∠OTF＝∠OFT＝45°，

∴OT＝OF，

∴AF＝ET，

∵FT＝TF，∠AFT＝∠ETF，FA＝TE，

∴△AFT≌△ETF（SAS），

∴EF＝AT，

∴EF

理由：取AD的中点O，连接OF，OE．

∵EA＝ED，∠AED＝60°，

∴△ADE是等边三角形，

∵AO＝OD，

∴OE⊥AD，∠AEO＝∠OED＝30°，

∴tan∠AEO，

∴，

∵∠ABC∠AED＝30°，∠BAC＝90°，

∴ABAC，

∵AO＝OD，BF＝FD，

∴OFAB，

∴，

∴，

∵OF∥AB，

∴∠DOF＝∠DAB，

∵∠DOF+∠EOF＝90°，∠DAB+∠DAC＝90°，

∴∠EOF＝∠DAC，

∴△EOF∽△DAC，

∴，

∴EFCD．

解后反思

1.本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．

2.“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”。这一性质既说明了斜边上的中线与斜边的数量关系，又得到了两个相关的等腰三角形,所以这一重要性质是研究线段倍半关系和等腰三角形的基础.在许多涉及直角三角形斜边上中线的几何证明与计算中,若能充分发挥这个性质的作用往往能使你体会到斜边上的中线给问题的求解带来的方便,使问题化难为易,从而解决问题