解题 | No.14 初中数学:二次函数根的分布

发布于 2021-08-24 20:28 ，所属分类：数学资料学习库

根的分布是二次函数的重要性质，与一元二次方程、一元二次不等式有紧密的关联。研究根的分布是解决相关问题的高效方法，往往可以大幅简化过程。但因为涉及理解问题的层次深度和角度转换，所以很多学生会觉得有难度。不过，如果没有挑战性，智力如何得以发展？通过唱山歌、喊口号吗？

今天讲解一道与根的分布相关的二次函数题目，具有一定综合性，更重要的是在这道题中集中体现了中学数学的四大思想方法：方程与函数思想、分类讨论思想、数形结合思想、转换与化归思想。

题：函数f(x)=x²-3mx+3与端点为（1/2，5/2）和（3,5）的线段只有一个公共点，求m的取值范围。

解析：大部分同学会容易想到将二次函数与过两点的直线方程联立，运用根的判别式求出一个确定的值。求完再看题目要求的是取值范围，觉得应该还有别的答案。但接下来该怎么办？有些同学就搞不定了。

在题目条件、要求结论与所用方法之间建立固定条件反射，这是应试教育的理论基础和实践目标。恨不得把所有题目都练熟，把所有解题方法都背下来，显然，这是又懒又蠢的方法，本质上是功利主义驱使的一种变相“作弊”。

正确的思维过程应该是：

①这道题的本质是什么？二次函数（方程）根的分布问题。

②什么情况下二次函数抛物线和直线线段只有一个公共点？一种情况是两者相切，且切点在线段上；另一种情况是两者相交，但在给定范围内只有一个交点。（方程与函数、数形结合、分类讨论）

③用什么方法求解？第一种情况运用根的判别式（会得到两个值，其中一个要舍去，这很容易被疏忽）；第二种情况可以用求根公式直接算，但比较麻烦，利用二次函数的特性转化为不同函数值之间的关系问题可以极大简化。（转换与化归）

解：

①求过两点的直线方程：

（两点式；直线方程有五种求法，初中教科书上只有斜截式，我认为是不够的。重点是，高中阶段几乎不用斜截式，主要用的是点斜式和两点式。）

化简：y=x+2（1/2≤x≤5/2）

注：确定x的取值范围十分重要，容易被疏忽。

②分类讨论

a）抛物线与线段相切

x²-3mx+3=x+2

x²-（3m+1）x+1=0......①

△=（3m+1）²-4=9m²+6m-3=0

m=1/3或m=-1

将m代入①，可分别求出切点的位置为x=1和x=-1，后者不在线段上，所以m=-1需舍去。

b）抛物线与线段相交且只有一个交点

如果运用求根公式求出两个根（含参数），然后再区分一个根在[1/2,5/2]上，一个根不在，计算会非常麻烦，而且容易出错。更好的方法如下：

上图示意了抛物线与线段只有一个交点的两种情形，无论哪种情形，二次函数在1/2和5/2两个点的图像必定一个在线段上方，一个在线段下方，即

综合两种情况，m的取值范围为：m=1/3或1/2≤m≤7/9