教育部课题|国外优秀本科数学教材评价研究拓扑与方程相映成趣

Introduction to Metric and Topological Spaces

作者：Wilson A. Sutherland

出版商：Oxford University Press

出版年：2009

ISBN：9780199563081

适用范围：高年级本科生

推荐强度：9

作者简介：

Wilson A. Sutherland（1935-2019），英国数学家，多年来一直任教于牛津大学，同时担任耶鲁大学和阿伯丁大学的客座教授。其主要研究领域为拓扑空间，留有多本数学专著和重要论文。

书评：

本书用简洁的语言清晰地介绍了点集拓扑学。它的研究方法是公理化和抽象的——这一学科发展的动机是希望推广实数的性质，而不是需要解决其他数学领域的问题。特别地，尽管一些例子作为Banach不动点定理的应用涉及积分方程和微分方程解的存在性，但本书还是很少提到函数空间。

本书假定读者对实轴的拓扑性质有一定的了解，特别是收敛性和完备性。在本书中，我们从实数的一些性质开始，思考如何将其推广到度量空间，有时进一步推广到一般拓扑空间。这本书的大部分内容都是关于度量空间的。

本书并不以教会读者点集拓扑学的每一细节为目标。它只是介绍了拓扑学中最重要的概念，但不会深入某一内容。章末习题中，部分对应本章正文，而部分则涉及正文未涵盖的知识。本书有配套的在线网页，提供了所有习题的答案与一些对正文内容的补充材料。因为这本书从实数开始，所以更像是分析学。本书的目标依然是介绍拓扑学，但并没有像Wilansky的Topology for Analysis或Kelley的General Topology等书籍完全从分析学的角度来阐述。它还有十分有趣的一章，是关于商空间的，Moebius带和具有不同数量洞的环面。

点评人：Allen Stenger（退休工程师，数学爱好者，美国数学学会会员）

Partial Differential Equations: Theory and Technique

作者：George F. Carrier, Carl E. Pearson

出版商：Springer

出版年：1988

ISBN：9780121604516

适用范围：高年级本科生，研究生

推荐强度：9

作者简介：

George F. Carrier（1918-2002），美国物理学家、工程师。他于康奈尔大学获工程学博士学位，研究领域为工程力学，发表了100多篇论文。其于1990年获美国最高科学荣誉——美国国家科学奖章。

Carl E. Pearson，华盛顿大学航空航天学名誉教授，曾于哈佛大学任教。他于布朗大学获博士学位。Pearson也活跃于工业界，曾于波音公司及理特管理顾问有限公司工作。Pearson也是许多专著的作者，其中一些是应用数学领域的经典著作。

书评：

基于我目前对气象学中动力数据同化的一些研究，我需要回顾一下解偏微分方程的特征理论。在读研究生时候，我接触到了这门学科，并且使用了Courant和Hilbert关于数学物理的教材。当时这本书给了我很大的帮助，但我记得书中几乎没有什么习题。

George F. Carrier对地理学有着杰出的贡献，我曾在十五年前从一位同事那里借到这本George F. Carrier和Carl E. Pearson的微分方程并受益良多。然后我买了这本书，开始用我自己的方式阅读它，特别注意特征方法。我发现关于这个主题的内容是一针见血而详尽清晰，没有任何糟粕。有一些超越正文范围的问题，包括一些对我有吸引力的与物理科学有关的具有挑战性的问题。我发现，当我开始以自己的方式解决这些问题时，我被那些我无法快速（在几分钟内）解决的问题吸引住了。我把这些问题搁置一边，但一直记在心里，直到有机会再次解决它们。解决这些问题让人感觉完全掌握了某种概念。作者擅长找到那些使学生有动力研究的问题，它们推动学生超越教材内容去自行探寻有效的解决方法。

作为一个教材编写者，我发现最大的挑战是给学生提供问题，磨练他们的技能，同时让他们获得对概念的更充分的理解，以弥合教材和实际研究之间的差距。我相信Carrier和Pearson已经完美完成了这个目标。

点评人：John M. Lewis（肯塔基大学数学系名誉教授）

A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms

作者：Robert S. Strichartz

出版商：World Scientific Publishing Company

出版年：2003

ISBN：9789812384218

适用范围：高年级本科生，研究生

推荐强度：8

作者简介：

Robert S. Strichartz，美国数学家，分析领域权威学者。他于普林斯顿大学获数学博士学位，曾在麻省理工学院和康奈尔大学任教。Strichartz从事于谐波分析、分形分析和常微分方程研究，于1983年获得Paul R. Halmos – Lester R. Ford奖。

书评：

这本书写得很好。从一开始，他就给了你一个关于分布非常清晰的认识。在下一部分，本书细致地教导你如何用分布来计算。这些例子经过精心挑选，清晰易懂，但它们又向你展示了计算的关键点并且十分深入。你应当了解到，分布理论不是一套简单的理论，它基于Lebesgue可测集理论。所以先试着阅读这一理论的基础，再来阅读本书吧。如果你熟悉Fubini定理，Fourier变换与集合的测度，那么你就可以开始阅读本书了。下一部分可能是Zemanian分布理论和变换分析——经典，却仍在实际中有着很好的应用。本书给出了许多其他教材中难以见到的例子，像从一个初学者观点来给出一些特殊函数的Fourier变换，通过Fourier变换来得到一些微分方程的解——当然有一些分布的条件。这些练习难度适中，并能从中学到很多东西，学生们可以灵活选择。

除此之外，还给出了许多物理上的使用分布和Fourier变换的例子，它们都被解释得非常清楚。总而言之，对基础知识扎实的学生来说，这是一本非常好的教材。

点评人：P. Tatrocki（波兰国家物理中心研究员）