数学学科素养之数学建模2反比例函数模型应用

一、（2020年河北中考数学第19题）

如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作T_m（m为1～8的整数）．函数y＝

（x＜0）的图象为曲线L．

（1）若L过点T₁，则k＝　﹣16；

（2）若L过点T₄，则它必定还过另一点T_m，则m＝5；

（3）若曲线L使得T₁～T₈这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有7个．

1.（1）由题意可求T₁～T₈这些点的坐标，将点T₁的坐标代入解析式可求解；

（2）将点T₄的坐标代入解析式可求k的值，将点T₅代入，可求解；

（3）由曲线L使得T₁～T₈这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得T₁，T₂，T₇，T₈与T₃，T₄，T₅，T₆在曲线L的两侧，即可求解．

2.解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2，

∴T₁（﹣16，1），T₂（﹣14，2），T₃（﹣12，3），T₄（﹣10，4），T₅（﹣8，5），T₆（﹣6，6），T₇（﹣4，7），T₈（﹣2，8），

∵L过点T₁，

∴k＝﹣16×1＝﹣16，

故答案为：﹣16；

（2）∵L过点T₄，

∴k＝﹣10×4＝﹣40，

∴反比例函数解析式为：y＝﹣，

当x＝﹣8时，y＝5，

∴T₅在反比例函数图象上，

∴m＝5，

故答案为：5；

（3）若曲线L过点T₁（﹣16，1），T₈（﹣2，8）时，k＝﹣16，

若曲线L过点T₂（﹣14，2），T₇（﹣4，7）时，k＝﹣14×2＝﹣28，

若曲线L过点T₃（﹣12，3），T₆（﹣6，6）时，k＝﹣12×3＝﹣36，

若曲线L过点T₄（﹣10，4），T₅（﹣8，5）时，k＝﹣40，

∵曲线L使得T₁～T₈这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，

∴﹣36＜k＜﹣28，

∴整数k＝﹣35，﹣34，﹣33，﹣32，﹣31，﹣30，﹣29共7个，

故答案为：7．

3.本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是本题的关键，同时通过函数考查临界值和求整数值，需要我们具备综合分析和空间想象能力。

二、（2021年河北中考数学第19题）

用绘图软件绘制双曲线m：y＝与动直线l：y＝a，且交于一点，图1为a＝8时的视窗情形．

（1）当a＝15时，l与m的交点坐标为 　（4，15）　；

（2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心．

例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由﹣15≤x≤15及﹣10≤y≤10变成了﹣30≤x≤30及﹣20≤y≤20（如图2）．当a＝﹣1.2和a＝﹣1.5时，l与m的交点分别是点A和B，为能看到m在A和B之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数k＝4．

1.（1）a＝15时，y＝15，即l与m的交点坐标为 （4，15）；

（2）A（﹣50，﹣1.2），B（﹣40，﹣1.5），为能看到横坐标是﹣50的点，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，即可得整数k＝4．

2.解：（1）a＝15时，y＝15，

由得：，

故答案为：（4，15）；

（2）由得A（﹣50，﹣1.2），

∴B（﹣40，﹣1.5），

为能看到m在A（﹣50，﹣1.2）和B（﹣40，﹣1.5）之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，

∴整数k＝4．

三、数学建模——反比例函数模型。

1.两道河北省中考填空的最后一道题，难度体现在从实际问题中抽象出反比例函数模型。抽象台阶问题和绘图软件问题为函数模型，利用待定系数法和数形结合等思想解决实际问题。

2.数学核心素养对应的10个核心概念分别是：数感、符号意识、推理能力、模型思想、运算能力、空间概念、运算能力、几何直观、数据分析观念、应用意识、和创新意识。

悟：学灵活的数学和科学。