数学好玩035两根之差与系数有关吗?

在学习一元二次方程时，依靠之前因式分解的基础，只要能看出因式分解的方法，解方程不是难题但如果遇到答案是无理数的方程时，就要依赖公式来解决问题了，尤其对初学者来说，背不熟公式解题还要配方，确实有点累

学以致用，当我们熟练解一元二次方程后，我们还能用它解决实际问题，例如确定周长的长方形的面积范围等……此外，一个儿时要靠凑数字才能解决的猜数游戏，现在有了正规的计算方法

在学习一元二次方程之前，如果遇到类似“两个数的和是18，积是77”的问题时，只能试答案，凑出7和11而如今，我们可以用方程x²-18x+77=0来解答这个问题。能列这个方程的依据是被我们戏称为“伟大定理”的：

根据韦达定理，我们发现一元二次方程的两根之和，两根之积都与系数有关，那两根之差呢？

思考两根之差时我们会发现，减法不像加法和乘法那样可以交换两根的位置但我们可以确认两根之差的绝对值这样算式中的两根就可以交换位置了

两根之差的绝对值能否用系数来确定呢？答案是肯定的，具体方法如下：

两根之差的绝对值竟然和Δ（根的判别式）有这么紧密的关联，当二次项系数a是1时，只要直接将Δ开平方就能表达两根相差多少了不知道大家对这个结果有什么感想，会不会感到些许惊讶呢？其实大家只要仔细回忆一下公式法解方程的答案，我们同样可以找到两根之差绝对值的答案

原来除了两根之和与两根之积，我们还能在不解方程的情况确定两根之差的绝对值不过瑶瑶爸爸对两根之差的思考还没有画上句号，之前的研究都是围绕怎样计算两根之差，现在我们换个角度，把两根之差当作条件来用

以之前出现的方程x²-18x+77=0为例，该方程的两根之和为18，两根之积为77。解方程得两根分别为11和7，两根相差4。

使用两根之和为18，两根之积为77这两个条件，我们能确定这两个数分别是11和7。如果用“两根相差4”替换其中一个条件，我们还能确定11和7这两个数吗？

下面我们就来试一试，首先选用和与差这两个条件：

两根之和为18，两根相差4，两个根分别是多少？

这个简单小学生也能解答的和差问题

但选用差和积就不那么容易了

两根之积为77，两根相差4，两个根分别是多少？

解答后我们会发现答案除了11和7，还有-11和-7

具体解答过程瑶瑶爸爸就不想细写了（又偷懒了）从两个角度简单说一下思考过程：

首先从解题角度出发，由于两根相差4是两根之差的绝对值，能确定的是两根之差的平方，所以能推算的是两根之和的平方，两根之和会出现正负两种不同的情况。当然也有特殊情况，那就是两根之和为0时，答案还是唯一确定的。

此外，我们还能从结果角度出发，如果有一对答案x₁、x₂符合上述条件，那这两根的相反数-x₁、-x₂同样满足上述条件。除非两根之和互为相反数，也就是之前提到的“两根之和为0时”，那答案就只有一组了。

文末有彩蛋

韦达定理不仅应用于一元二次方程，在更高次的方程中依然能发挥神奇的作用

15：40发送此文，致敬1540年出生的弗朗索瓦·韦达