人教版七年级数学上册整册知识点梳理

学而时习之，不亦说乎！

第一章 有 理 数

我们先来看看它的名称由来：“有理数”这一名称不免叫人费解，而有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。“有理数”一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作时，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很明显，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。

一、正数与负数

1、正数与负数

为了用数表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量。如零上、向东、收入和高于等规定为正的，而把与它相反的量规定为负的。正的用小学学过的数（0除外）表示，负的用小学学过的数（0除外）在前面加上“－”（读作负）号来表示。根据需要，有时在正数前面也加上“+”（读作正）号。

注意：①数0既不是正数，也不是负数。0不仅仅表示没有，也可以表示一个确定的量，如温度计中的0℃不是没有表示没有温度，它通常表示水结成冰时的温度。②正数、负数的“+”“－”的符号是表示量的性质相反，这种符号叫做性质符号。　　

在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。

2、有理数

整数和分数统称为有理数

2.数轴

(1)定义 ：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴(number axis)。

(2)数轴三要素：原点、正方向、单位长度。

(3)原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点(origin)。

(4)数轴上的点和有理数的关系：

　　所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点，不都是表示有理数。

　　只有符号不同的两个数叫做互为相反数(opposite number)。(例：2的相反数是-2;0的相反数是0)　

3、绝对值

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。为了方便，我们用一种符号来表示一个数的绝对值，约定在一个数的两旁各画一条竖线来表示这个数的绝对值，记作｜a｜，读作a的绝对值。　

①一个正数的绝对值是它本身，②一个负数的绝对值是它的相反数，③0的绝对值是0

符号表示：

当a＞0时，｜a｜=a；当a＝0时，｜a｜=0；当a＜0时，｜a｜=－a。

4、有理数比大小

（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；

（2）两个负数，绝对值大的反而小。

5、 有理数的加减法

①有理数加法法则：

1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3.互为相反数的两个数相加得0。

4.一个数同0相加，仍得这个数。　

②有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。

注意：有理数的加减法运算律与小学学习的运算律相同，运用加减法运算律的目的为了简化运算。要借用数轴来进一步验证有理数的加法法则；异号两数相加，首先要确定符号，再把绝对值相加。

4、有理数的乘除法

①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。

　　乘积是1的两个数互为倒数。乘法交换律/结合律/分配律

②有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

　　两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0。

5、有理数的乘方

　　求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂(power)。在a的n次方中，a叫做底数(base number)，n叫做指数(exponent)。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。

　　有理数的混合运算法则：先乘方，再乘除，最后加减;同级运算，从左到右进行;如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

　　把一个大于10的数表示成a×10的n次方的形式，使用的就是科学计数法，注意a的范围为1≤a <10。

　　从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字(significant digit)。四舍五入遵从精确到哪一位就从这一位的下一位开始，而不是从数字的末尾往前四舍五入。比如：3.5449精确到0.01就是3.54而不是3.55.

相应练习：

第二章 整式的加减

一、整式

　　

单项式的概念：表示数或字母的积的代数式，叫做单项式，特别地，单独一个数或一个字母也叫做单项式。

1.任意个字母和数字的积（除法中有：除以一个数等于乘这个数的倒数）。

2.一个字母或数字也叫单项式。

3.分母中不含未知数的积的式子叫做单项式

注意：单独一个数或一个字母也是单项式，2πr中2π是单项式的系数，单项式的次数。

单项式的系数：是指单项式中的数字因数;（如果一个单项式，只含有字母因数，如果是正数的单项式系数为1，如果是负数的单项式系数为－1）

单项数的次数：是指单项式中所有字母的指数的和（如果一个单项式，只含有数字因数，那么它的次数为0）

多项式：由若干个单项式的和组成的代数式。多项式中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。

　　它们都是用字母表示数或列式表示数量关系。注意单项式和多项式的每一项都包括它前面的符号。

　　单项式和多项式统称为整式。

二、整式的加减

　

　同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。与字母前面的系数(≠0)无关。

　　同类项必须同时满足两个条件：(1)所含字母相同;(2)相同字母的次数相同，二者缺一不可.同类项与系数大小、字母的排列顺序无关

　　合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。可以运用交换律，结合律和分配律。

　　合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变;

　　字母的升降幂排列：按某个字母的指数从小(大)到大(小)的顺序排列。

　　如果括号外的因数是正(负)数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同(反)。

　　整式加减的一般步骤：

1、如果遇到括号按去括号法则先去括号. 2、结合同类项. 3、合并同类项

三、整式的乘法法则 :

　　

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式 ;

　　单项式和多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每项，再把所得的积相加。

　　多项式和多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

四、整式的除法法则

　　

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

经 典 例 题

例1：找出下列代数式中的单项式、多项式和整式。

3z+y+z，4xy，a1，2m2n，x2+x+x1，0，x2-2x1，m，―2.01×105

解：单项式有4xy，2m2n，0，m，―2.01×105；多项式有3z+y+z；

整式有4xy，2m2n，0，m，-2.01×105，3z+y+z

例2：指出下列单项式的系数、次数：ab，―x2，53xy5，3－x3y5z。

解：ab：系数是1，次数是2；―x2：系数是―1，次数是2；

53xy5：系数是53，次数是6；3－x3y5z：系数是―31，次数是9。

例3：指出多项式a3―a2b―ab2+b3―1是几次几项式，最高次项、常数项各是什么？

解：是三次五项式，最高次项有：a3、―a2b、―ab2、b3，常数项是―1。

例4：化简，并将结果按x的降幂排列：

(1)(2x4―5x2―4x+1)―(3x3―5x2―3x)；(2)―［―(―x+21)］―(x―1)；

(3)―3(21x2―2xy+y2)+21(2x2―xy―2y2)。

解：(1)原式=2x4―3x2―x+1；(2)原式=―2x+23；(3)原式=―21x2+211xy―4y2。

例5：化简、求值：5ab―2［3ab―(4ab2+21ab)］―5ab2，其中a=21，b=―32。

解：化简的结果是：3ab2，求值的结果是32。

例6：一个多项式加上―2x3+4x2y+5y3后，得x3―x2y+3y3，求这个多项式，并求当x=―21，y=21时，这个多项式的值。

解：此多项式为3x3―5x2y―2y3；值为―45。

第三章一元一次方程

1、一元一次方程的概念：

只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为1（即“次”）的整式方程（左右两边的式子要用“=”连接）叫做一元一次方程。

2、列方程的方法：

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。

列方程是解决问题的重要方法，利用方程可以解出未知数。解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。

2、等式的性质：

性质1

  等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立。

例：若a=b，那么a+c=b+c

性质2

  等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。

例：若a=b，那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c（c≠0）

性质3

  等式具有传递性。

  若a1=a2,a2=a3,a3=a4,……an=an,那么a1=a2=a3=a4=……=an

3、一元一次方程的解法：

一、去分母

在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不含分母的项也要乘）；

依据：等式的性质2

二、去括号

一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，可根据乘法分配律（记住如括号外有减号或除号的话一定要变号）

依据：乘法分配律（注意没有除法分配律）

三、移项

把方程中含有未知数的项都移到方程的一边（一般是含有未知数的项移到方程左边，而把常数项移到右边）

依据：等式的性质1

四、合并同类项

把方程化成ax=b（a≠0）的形式；

依据：乘法分配律（逆用乘法分配律）

五、系数化为1

在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a。

依据：等式的性质2

解方程口诀去分母，去括号，移项时，要变号，同类项，合并好，再把系数来除掉。

列方程解应用题的步骤

(1)审题，弄清题意．即全面分析已知数与已知数、已知数与未知数的关系．特别要把牵涉到的一些概念术语弄清，如同向，相向，增加到，增加了等.

(2)引进未知数．用x表示所求的数量或有关的未知量．在小学阶段所遇到的应用题并不十分复杂，一般只需要直接把要求的数量设为未知数．

(3)找出应用题中数量间的相等关系，列出方程．

(4)解方程，找出未知数的值．

(5)检验并写出答案．检验时，一是要将所求得的未知数的值代入原方程，检验方程的解是否正确；二是检查所求得的未知数的值是否符合题意，不符合题意的要舍去，保留符合题意的解．

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第四章 几何图形初步

一、几何图形

一个立体图形从不同方向看，可以是一个平面图形；可以把立体图形进行适当的裁剪，把它展开成平面图形，或者把一个平面图形复原成立体图形，即立体图形与平面图形可以互相转换．

二、点、线、面、体

点指有位置而没有长、宽、厚的图形；

面是称线移动所生成的图形,有长有宽而没有厚（面分为平面和曲面）；

线是指有长度而无宽度和厚度的图形（如：直线、射线、线段等）；

体,就是有点有线有面的有长宽厚的总体.（如：正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱等）

三、直线、射线、线段

直线：过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）.无端点
射线：直线上的一点,可向一方无限延伸.有一个端点
线段：直线上两点间的一段.有两个端点（两点间线段最短）

四、角

概念：有公共端点的两条射线组成的图像。

这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。

角的度量：用量角器的中心对准角的顶点，量角器的零刻度线对齐角的一边，角的另一边所指的刻度就是角的大小。

1周角= 360°，1平角= 180°，1°= 60′，1′= 60″．

角的比较与运算：１．角的比较两种常用方法：度量法和重叠法．

２．角的和、差定义．注意边的重合和边在角的内外关系．
３．角的平分线定义及相关的三个等式．

如图 所示，ＯB是∠ＡＯC的平分线，则有以下等式：

（１）∠ＡＯB=∠CＯB．

（２）∠ＡＯC＝２∠ＡＯB＝２∠ＣＯＢ．

（３）∠ＡＯＣ＝∠ＣＯA．

五、余角、补角以及邻补角的定义、性质．
（１）定义：
若∠α＋∠β＝９０°，则∠α与∠β互余；反之，亦然．
若∠α＋∠β＝１８０°，则∠α与∠β互补；反之，亦然．
若∠α＋∠β＝１８０°且∠α与∠β有公共顶点、有一条公共边，另一边互为反向延长线，则∠α与∠β互邻补；反之，亦然．
注意：要弄清补角以及邻补角的区别与联系．
（２）性质：
①同角（或等角）的余角相等．
②同角（或等角）的补角相等．
５．方位角的定义．
如图所示：正北或正南方向与目标方向线所成的小于９０°的角叫方位角．常用“北偏东（西）××度”，“南偏东（西）××度”；如图2 ，ＯＢ是目标方向线 表示北偏东4０°。另外规定北偏东４５°简称为东北方向，南偏西简称为西南方向．

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