高数(上)口诀新鲜出炉

某傍晚，偶遇某学生溜娃，感慨时光飞逝。

学生说，若是高数也有了口诀，便早已读研，飞黄腾达。

互笑两声。

经过一些时间的整理，赶在开学前夕，助力挺过疫情的千万学子，莫挂在那棵数（树）上。

1.1 函数

有理稠密且有序，全体实数连续性，

邻域概念用的多，各种表示需谨记，

函数概念已扩充，三种表示均等价，

若有界、不唯一，单调性、分区间，

奇偶注意定义域，函数周期不唯一。

1.2 初等函数

反解莫忘定义域，单调区间方可反，

基本初等有五类，幂指对和两三角，

一层一层又一层，复合注意定义域，

双曲函数有定义，三角函数相类似。

1.3 数列的极限

大学数列无穷项，任意存在来定义，

结论倒推反解 n，中间插入以放缩，

收敛数列必有界，反之不一定成立，

极限存在则唯一，同时具有保号性，

原收敛、子列同，子列散、原发散。

1.4 函数的极限

无穷极限分正负，倒推反解再梳理，

左右等、极限有，唯一有界且保号，

子序列、收敛性，常用证明无极限。

1.5 无穷大与无穷小

动态理解无穷小，条件状语莫忽视，

相乘相加需有限，有界乘之等于零，

无穷大、则无界，无界未必无穷大，

彼此纠缠两个量，相互转化有妙用。

1.6 极限运算法则

若有意义直接代，加减乘除有定理，

遇到分式最麻烦，上下同除巧转化，

分子有理经常用，高中公式常看看。

1.7 极限存在准则，两个重要极限

夹逼准则靠放缩，具体尺度需拿捏，

单调有界有极限，转化方程求极限，

重要极限凑结构，一步一步慢慢来。

1.8 无穷小的比较

高低阶数各不同，只因速度有差异，

齐头并进等价量，代换计算效率高，

若要两者来相减，十有八九两泪流。

1.9 函数的连续与间断

定义连续用极限，左右连续与连续，

左右均连第一类，不等跳跃等可去，

至少一侧不存在，无穷震荡第二类。

1.10 连续函数的运算与性质

加减乘除仍连续，反函数、需单调，

复合注意定义域，作用仍是求极限，

函数闭区间连续，有最值、且有界，

端点异号有零点，天地之间皆可取，

一致连续必连续，反之不一定成立。

2.1 导数概念

增量相比求极限，分段函数左右导，

因式分解遇困难，无穷小量来帮忙，

若可导、必连续，连续不一定可导。

2.2 函数的求导法则

反函数、导数倒，反解代换不要忘，

链式法则复合导，从外向内层层导，

中间变量写出来，先化简、再求导，

函数类型看仔细，分段点处等一等。

2.3 高阶导数

2.4 隐函数的导数

隐函数、当复合，解方程、后代换，

幂指函数取对数，指数复杂亦可用，

参数方程导数除，高阶看作复合导，

极坐标、化参方，直角坐标系中求。

2.5 函数的微分

微分是个近似量，微分作商是导数，

切线代替原函数，增量可用正切算，

导数法则可延续，形式不变用处大，

切线近似原函数，无穷小量成特例，

计算近似与误差，本质便是求微分。

3.1 中值定理

连续可导端点等，罗尔说它有极值，

若是端点不相等，拉格朗日证平行，

参数方程来相助，拉格朗日变柯西，

原函数、减直线，构造辅助来证明。

3.2 洛必达法则

未定型、洛必达，减零同除可证明，

条件二三要当心，极限存在方可用，

千奇百态未定型，巧妙变形化零零，

零乘无穷变相除，无穷相减可通分，

若遇指数取对数，再求指数莫忘记。

3.3 泰勒公式

泰勒公式一把尺，阶数增加刻度密，

拉氏余项精确解，精度损失皮亚诺，

艾克斯零真为零，麦克劳林就出现。

3.4 单调性、凹凸性与极值

导数判断单调性，正增负减早知晓，

几何意义用切线，中值定理可证明，

二阶正、函数凹，凹凸分界是拐点。

单调变、是极值，导数为零是驻点，

二阶导数是条船，船上大副叫小郑。

3.6 函数图形的描绘

渐近线、有三类，水平取在无穷处，

铅直需在间断点，直线相减求斜线，

基本性质走一遭，求两导、算零点，

单调凹凸和极拐，渐近线、算一遍，

补充若干函数值，连点成线的图像。

4.1 不定积分的概念与性质

原函数、不唯一，两两之间差常数，

先积再导无常数，先导再积要加 C，

加减数乘可穿越，基本表、要熟练，

先化简、再积分，最后莫忘常数 C。

4.2 换元积分法

复合求导逆运算，第一换元凑微分，

换元莫忘再代回，常用乘法积分中，

三角代换去根号，分母高次倒代换。

4.3 分部积分法

乘法微分逆运算，先凑何处是关键，

牢记反对幂指三，站位靠后先处理。

4.4 有理函数的积分

分解分母化部分，待定系数求参数，

万能公式化三角，曾是高中知识点。

5.1 定积分的概念

分割求和取极限，极限存在方可积，

连续函数必可积，间断有限且有界。

5.2 定积分的性质

线性运算可分解，积分区间可加性，

有界积分可估计，积分中值化矩形。

5.3 微积分基本公式

微分积分逆运算，基本定理来揭示，

函数作为变上限，代换求导两相乘，

基本公式即牛莱，不定积分再做差。

5.4 定积分的换元法、分部积分法

换元注意定义域，导数相乘莫忘记，

若是直接凑微分，省去变换积分限，

奇零偶倍有妙用，不忘看看定义域。

5.5 广义积分

无穷记作新参数，积分之后求极限，

极限存在称收敛，否则称之为发散，

定义域、做让步，通过极限判敛散。

6.1 定积分的微元法

万物皆可微元法，积分无处不存在。

6.2 平面图形的面积

上下相减求积分，谁上谁下心有数，

有时旋转九十度，参数方程亦可用，

扇形看作三角形，图形对称经常用。

6.3 体积

面积积分得体积，积分变量随轴定。

6.4 平面曲线的弧长

弦长公式又出现，积分之后是弧长，

曲线光滑方可用，分段光滑拆开用，

参数方程直接代，极坐标、做变换。

7.1 微分方程的基本概念

函数导数组方程，一元函数常微分，

通解含有常数 C，初始条件得特解.

7.2 可分离变量的微分方程

左右放置两变量，直接积分是通解，

齐次方程换元法，莫忘代回消去 u，

分子分母是直线，可化齐次来求解，

上下联立求交点，平移变换去常数。

7.3 一阶线性微分方程

一阶线性一个 y，右端非零非齐次，

常数变易解非齐，先解齐次 C换u，

代回非齐积出 u，再代通解表达式，

不用公式更容易，谁是变量要灵活，

伯努利、年岁高，巧用换元化非齐，

又是常数变易法，直接变易更容易。