中考数学90分+必备几何辅助线技巧

辅助线对于同学们来说都不陌生，解几何题的时候经常用到。当题目给出的条件不够时，我们通过添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这便是辅助线的作用。

毫不夸张的说，许多几何大题，找准了辅助线，分基本就拿稳了~

几何常见辅助线口诀

三

角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，倍长中线得全等。

四

边形

平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为三角或平四。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

圆

形

半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径联。

切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。

由角平分线想到的辅助线

一、截取构全等

如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。

二、角分线上点向两边作垂线构全等

如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180

分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。

三、三线合一构造等腰三角形

如图，AB=AC，∠BAC=90 ，BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。

分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。

四、角平分线+平行线

如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。

分析：AB上取E使AC=AE，通过全等和组成三角形边边边的关系可证。

由线段和差想到的辅助线

截长补短法

AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。

分析：过C点作AD垂线，得到全等即可。

由中点想到的辅助线

一、中线把三角形面积等分

如图，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。

分析：利用中线分等底和同高得面积关系。

二、中点联中点得中位线

如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。

分析：联BD取中点联接联接，通过中位线得平行传递角度。

三、倍长中线

如图，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。

分析：倍长中线得到全等易得。

四、RTΔ斜边中线

如图，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：AC=BD。

分析：取AB中点得RTΔ斜边中线得到等量关系。

由全等三角形想到的辅助线

一、倍长过中点得线段

已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是。

分析：利用倍长中线做。

二、截长补短

如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分 ，求证：∠A+∠C=180

分析：在角上截取相同的线段得到全等。

三、平移变换

如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE

分析：将△ACE平移使EC与BD重合。

四、旋转

正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数

分析：将△ADF旋转使AD与AB重合。全等得证。

由梯形想到的辅助线

一、平移一腰

所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的长。

分析：利用平移一腰把梯形分割成三角形和平行四边形。

二、平移两腰

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

分析：利用平移两腰把梯形底角放在一个三角形内。

三、平移对角线

已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积。

分析：通过平移梯形一对角线构造直角三角形求解。

四、作双高

在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。

分析：作梯形双高利用勾股定理和三角形边边边的关系可得。

五、作中位线

（1）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：EF//AD

分析：联DF并延长，利用全等即得中位线。

（2）在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=90°，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。

分析：在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。

由圆想到的辅助线

一、遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：

（1）利用垂径定理

（2）利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系

（3）利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量

二、遇到有直径时，常常添加（画）直径所对的圆周角

作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形

三、遇到90度的圆周角时 ，常常连结两条弦没有公共点的另一端点

作用：利用圆周角的性质，可得到直径

四、遇到弦时，常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点

作用： （1）可得等腰三角形

（2）据圆周角的性质可得相等的圆周角

五、遇到有切线时

常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）

作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形

常常添加连结圆上一点和切点

作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

六、遇到证明某一直线是圆的切线时

（1） 若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。

作用：若OA=r，则l为切线

（2） 若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）

作用：只需证OA⊥l，则l为切线

（3） 有遇到圆上或圆外一点作圆的切线

七、遇到两相交切线时（切线长）

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点

作用：据切线长及其它性质，可得到

（1）角、线段的等量关系

（2）垂直关系

（3）全等、相似三角形

八、遇到三角形的内切圆时

连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段

作用：利用内心的性质，可得

（1） 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线

（2）内心到三角形三条边的距离相等

九、遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点

作用：外心到三角形各顶点的距离相等

十、遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）

常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线

作用：（1）利用切线的性质；

（2）利用解直角三角形的有关知识

十一、 遇到两圆相交时

常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等

作用：（1）利用连心线的性质、解直角三角形有关知识

（2） 利用圆内接四边形的性质

（3）利用两圆公共的圆周的性质

（4） 垂径定理

十二、遇到两圆相切时

常常作连心线、公切线

作用：（1）利用连心线性质

（2）切线性质等

13. 遇到三个圆两两外切时

常常作每两个圆的连心线

作用：可利用连心线性质

14. 遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时

常常添加辅助圆

作用：以便利用圆的性质

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