初中竞赛题萃007(数论)同余01

发布于 2021-08-12 13:36 ，所属分类：初中数学学习资料大全

前置知识：

同余指的是被同一个正整数所除，得到的余数相同．如果两个整数

2.若

我们今天来看一个难度不大但是很有意义的题目：

这个结论宣告了我们利用多项式寻找素数公式的计划破产.随后我们就会想有没有稍微弱一点的素数公式，比方说能不能找到这样一个整系数多项式，在素数处的取值都是素数呢？我们随后会利用狄利克雷定理说明这件事——

首先应该想到有两个平凡解：如果是一个恒等于素数的常值多项式或者 显然符合题意.

设 是在素数处的取值都是素数的整系数多项式. 对任意素数 , 由条件知 是素数. 若对某一个素数

但由条件， 是素数表明 是素数,

因此由上式可推出.

考虑多项式 . 之前的讨论表明有无穷多个 使得 , 因此 恒等于零. 即 恒成立. 这表明 是 个常值多项式, 即有 .

因此, 当 不是常值多项式时, 一定有 考虑多项式 , 则 对任意素数 均成立. 即 有无穷多个零点, 因此 , 即 .

综上, 满足条件的多项式只可能是常值多项式 或者是 .

相关资源