初中奥数精讲第28讲 计数方法(二)-答案精讲

本讲适用于初一、初二、初三，因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目，所以只要有课堂上基本的知识储备，都可以一起来学习，相信对你的奥数、数学思维，解题思路都大有裨益。

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一、知识点解析

1. 所谓计数，就是数数，即把我们研究的对象的数目数出来。在计数问题中常常根据所给问题的知识背景把它分为几何计数问题与代数计数问题。

2. 解决计数问题常用的方法

（1）枚举法。就是要把要求计数的所有对象一一列举出来，最后计算总数的过程。枚举法的列举过程中，必须注意既不重复，也不遗漏，必须力求有次序、有规律地进行。

（2）原理法。即为利用加法原理、乘法原理和容斥原理进行计数的方法。

加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法。在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，。。。，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。。。+mn种不同的方法。

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤。做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，。。。，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1·m2·…·mn种不同的方法。

运用上述两个原理的关键在于分类要恰当，分步要合理。分类必须包括所有情形，又不交错在一起产生重复，要依据同一标准划分。分步则应使各步首尾相接，环环相扣，随着各步依次完成，保证整个事件得到完成，不得多余或重复，也不得缺少某一必要步骤。

容斥原理：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复的技术方法。

两个集合的容斥关系公式：A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |(∩：重合的部分）。

三个集合的容斥关系公式：|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|。

（3）代数法。就是利用方程（组）或不等式（组）和递推完成计数的方法。

（4）配对法。又称一一对应法。如果集合A、B之间能够建立一个一一对应，那么这两个集合中的元素一定相等（不考虑元素个数无限的情形），记作|A|=|B|.如果集合A中的元素个数不好计算，便设法寻找一个能与A建立一一对应，而又便于计算其中元素个数的集合B，通过求|B|来确定A。

（5）作图法。

这部分主要考察学生的对计数方法的了解及掌握，计数方法是很有意思的一类奥数题。这部分题型特殊，种类繁多，要学好基础知识，才能保证在计数方法的学习上超过别人，让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题

例1 （“五羊杯”数学竞赛题）

已知直角三角形ABC的三边长都是整数，而且都不超过1999，其中∠A=90°，BC+AB=2AC，则一共有_________个这样的△ABC。

解答：

因为（BC+AB）（BC-AB）=BC² – AB²=AC²，

即2AC（BC-AB）=AC²,与BC+AB=2AC联立，

解得BC=5/4AC，AB=3/4AC.

可设BC=5k，AC=4k，AB=3k，1≤k≤399（因为BC≤1999）。

所以一共有399个这样的△ABC。

例2

数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和，如3,1+2,2+1,1+1+1.问2004表示为1个或几个正整数的和方法有多少种？

解答：

将2004个1写成一行，它们之间留有2003个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“+”号。例如对于数3，上述4种和的表达方法对应：

111,11+1,1+11,1+1+1.

显然，将2004表示成和的形式与天蝎2003个空隙处的方式之间一对一，而每一个空隙处都有填“+”号和不填“+”号两种可能，因此，2004可以表示为正整数之和的不同方法有

2×2×…×2=2²⁰⁰³（种）

例3

如图，ABCD是一个长和宽分别为3个单位和2个单位的矩形，沿图中线段从A到C最短路线的长度是5个单位，那么从A到C有几条不同的最短路线？

把一种走法和一串符号对应，值得在同类计数问题求解中借鉴。

解答：

这里用“→→↑→↑”表示走法AEFSMC，即为向右走一个单位用“→”表示，向上走一个单位用“↑”表示。这样不同的走法实际上是三个“→”与两个“↑”的不同排法。问题归结为：在5个位置上选两个记“↑”，其余位置记“→”，有几种选法？放第一个“↑”时有5种选法，再放2个“↑”时有4种选法，注意其对称性，一共有（5×4）÷2种，即10种选法。

例4

直线上分布着1990个点，我们来标出以这些点为端点的一切可能线段的重点，试求：至少可以得出多少个互不重合的中点？

解答：

将其中距离最远的两点记为A、B，则A与B以外的1988个点构成1988条线段。这些线段的中点互不重合，且这些中点到A点的距离都小于0.5AB，又B与A以外的1988个点也构成1988条线段，又可得1988个互不重合的中点，且它们到B点的距离也都小于0.5AB，加上AB的中点，共有互不重合的中点的个数为1988+1988+1=3977（个）。

当这1990个点每相邻两点的距离都相等时，除A、B以外的1988个点都是符合题意的线段中点，当然是互不重合的，且相邻两点可构成1989条线段，它们的中点互不重合，这时互不重合中点的个数为1988+1989=3977（个）。

因此，所有可能线段至少可得3977个互不重合的中点。

例5

电话号码由7位变成8位，可以增加多少个不同的号码？

解答：

七位数字电话号码的个数由乘法原理得10×10×10×10×10×10×10=10⁷，同理八位数字电话号码的个数由乘法原理得10×10×10×10×10×10×10×10=10⁸. 增加的个数为10⁸-10⁷=9×10⁷.

例6

将编号1,2,3,4,5的五个小球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子中，每个盒子中只放入一个。

（1）一共有多少种不同的放法？

（2）若编号为1的球恰好放在了1号盒子中，共有多少种不同的放法？

解答：

（1）1号球有5种放法，2号只有4种方法，。。。由乘法原理有

5×4×3×2×1=120（种）

（2）因为1号放入了1号箱子，则只有

4×3×2×1=24（种）不同方法。

例7

用24个面积为1的单位正方形拼成如图所示的正六边形，我们把面积为4的正三角形称为“希望形”。请问图中共可数出多少个不同的“希望形”？

解答：

假设每个面积为1的单位正三角形的边长为a，则“希望形”的边长为2a，只有长度大于或等于2a的线段上才可能有希望形。

外部的6条边边长均为2a，所以有6个“希望形”。

中间长度为3a的线段有4条，每条边上有2个“希望形”，不过这样重复数了一遍，所以有4×2÷2=4个“希望形”。

中间最长的线段为4a，有两条，除去已经计算过的“希望形”，每条线上只有中间段有效，所以有2×1=2个“希望形”。

共有6+4+2=12个“希望形”。

例8

（1）试设计一种方法，把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形（分得的正方形大小可以不相同）；又问如何把正方形按上述要求分成31个正方形？

（2）试设计一种方法，把一个大立方体分割成55个小立方体？

解答：

（1）容易把一个正方形分成16个相同的小正方形，再把其中位于一角的9个拼成一个正方形，则共有（16-9）+1=8个正方形。分成16个小正方形后，将其中5个正方形各位分成4个相同的小正方形，则共有（16-5）+ 5×4 = 31个正方形。

（2）把立方体分割成3³=27个相同的小立方体，再把其中4个各分成2³=8个小立方体，则共有（27-4）+4×8=55个小立方体。

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