如何在高中数学课堂激发优等生对高等数学的学习兴趣

发布于 2021-09-03 15:19 ，所属分类：数学资料学习库

1 高等数学与初等数学

中学生在数学课堂学习的初等数学是一门在理论和实践方面都很有意义的课程，同时也是高等数学的基础。很多学有余力的数学优等生对初中、高中的数学很有兴趣，知识方法也掌握得相当牢固，如果他们能进一步认真学习高等数学，其中会有很多人能够胜任理工科的研究与工作。但是，这些学生到了大学后，有很大一部分缺乏对高等数学的激情，并未发挥出他们在数学上的天赋，这使培养了大量数学优等生的中学数学教师们不惋惜。学生们对高等数学的望而却步普遍归因为以下三点：

(1)高等数学与初等数学在思维方式上存在差异。学习初等数学，重点在于将己有的知识与方法技巧有机地结合，而学习高等数学更需要的是系统分析能力与想象能力，从整体上把握所学的知识体系。有些数学优等生接触到高等数学后，不能很快地适应高等数学的思维方式，认为高等数学太难，与初等数学脱节，学习没有成就感，无法很好地领会高等数学中的思想。

(2)高等数学与初等数学在内容和学习方法也存在差异。初等数学中的概念的抽象程度和系统性远远比不上高等数学中的概念。因此，在学习初等数学时，往往通过机械的训练也能熟练掌握其中的知识和方法技巧，但这样的机械训练不一定能提高学生的抽象性思维和整体性思维，很多中学生迫于高考的压力，每天重复做着机械的训练，他们容易在这种机械的训练中消磨掉学习数学的激情，迷失学习数学的方向。

(3)从就业角度考虑，人们普遍认为在大学应该学习实用的技术。但学习每门技术只有达到一定的深度和高度才能真正了解到高等数学在其中的应用。所以很多学生在学习的开始阶段并不重视高等数学的学习。

高等数学是所有理工科学习的基础，是理科生必须要熟练掌握的知识体系。在中学阶段，过度的机械练习会扼杀优等生对数学的兴趣，阻碍他们认识数学的实质和数学的美。因此，针对数学优等生的高中数学教学，在保证完成教学目标的前提下，应尽量摆脱无用的重复演练，引导他们从更高的观点来把握所学的知识，注重知识的整体性。只有让他们看到问题的本质，才能跳出框框，减少无谓的重复练习。面对这些学生时，高中数学的教师不但应做好连接初中数学的“承上”工作，还应尽量做好“启下”的工作，帮助他们摆脱上面的问题，从而在数学这条路上走得更远。

想要激发学生对高等数学的学习兴趣，提高数学思维水平，首先要找到高等数学与初等数学的连接点，让学生认识到两者是一个连贯整体的不同部分，很多的问题是互相呼应的。

教师若能在这些连接点处向学生引入少量的高等数学知识和观点，让学生能近距离接触高等数学，则会对学生们的数学发展有所助益。下面我们通过几个教学案例来说明这个问题。

2 教学案例

案例1 从一道求最小多项式的问题开始

师：我们在初中已经学习过解二次方程，现在来看一个反向的问题。(在黑板上写下数 $\sqrt{2}+1$ )，哪位同学能够写出一个系数都是整数的二次方程，有一个根是 $\sqrt{2}+1$ ？

（学生们在纸上进行演算）

生甲：我算出的二次方程是 $x^2-2x-1=0$

师：你是怎么计算的？

生甲：我先写出最终的解 $x=\sqrt{2}+1$ ，将解方程的方法反过来使用，得到 $x-1=\sqrt{2}$ ，平方得到 $x^2-2x+1=2$ ,整理得 $x^2-2x-1=0$ .

师：非常好，还有同学有别的方法吗？

生乙：我用求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ,因此 $\frac{-b}{2a}=1,\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\sqrt{2}$ .假设 $a=1$ ，可以解出 $b=-2,c=-1.$

师：非常好。这两种方法是分别将配方法和公式法反向使用得到的。下面我们来看一个难一点的问题(在黑板上写下数 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ )，能不能写出一个系数都是整数的二次方程，有一个根是 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ?

生：不能。如果关于 $x$ 的二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的系数都是整数，那么在求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 中，化简后只有 $\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 一项可能为根式， $\frac{-b}{2a}$ 一项必然是整数或分数，不可能出现两个根式相加的情况。

师：如果方程的次数可以高一些呢？

(学生开始思考，教师提示用平方来去根式)

生甲：先将 $x=\sqrt{2}+\sqrt {3}$ 两边平方，得到 $x^2=5+2\sqrt {6}$ ,移项得 $x^2-5=2\sqrt{6}$ ,再平方得 $x^4-10x^2+25=24$ ,因此 $x^4-10x^2+1=0$ 这个方程就是系数都是整数，且以 $\sqrt{2}+\sqrt {3}$ 为一个根的方程。

师：还有不同的做法吗？

生乙：我从 $x-\sqrt {2}=\sqrt {3}$ 开始，两边平方，得到了相同的结果。

生丙：我从 $x-\sqrt {3}=\sqrt {2}$ 开始，两边平方，得到了相同的结果。

师：很好。我们来看 $x^4-10x^2+1=0$ 这个方程，它的根都有哪些？

生：将我构造方程的方程反过来就是解方程的过程，第一次开方得到 $x^2-5=\pm2\sqrt {6}$ ，因此 $x^2=5+2\sqrt {6}$ 或 $x^2=5-2\sqrt{6}$ ，再开方得到四个根分别为 $\sqrt {2}+\sqrt {3}$ , $\sqrt {2}-\sqrt {3}$ , $-\sqrt {2}+\sqrt {3}$ , $-\sqrt {2}-\sqrt {3}$ 。

师：现在我们已经会构造以 $\sqrt {2}+\sqrt {3}$ 为一个根，并且系数都是整数的方程了。如果问题再复杂一点，例如以 $\sqrt {2}+\sqrt[3]{3}$ 为一个根(在黑板上写下 $\sqrt {2}+\sqrt [3]{3}$ )呢？

生：直接乘方不行了，两个根式的次数不一样，越乘越复杂。

师：对，所以我们找找有没有其它方法。像上一个问题一样，我们可以先移项。在式子 $x=\sqrt {2}+\sqrt [3]{3}$ 中，移哪一项到左边去好一些？

(学生尝试计算)

生甲：移动 $\sqrt {2}$ 到左边去好一些，两边三次方之后，右边的三次根号就消掉了，左边还剩一些带 $\sqrt {2}$ 的项，可以合并同类项。如果移动 $\sqrt [3]{3}$ 到左边去，两边平方的话，会得到带 $\sqrt [3]{3}$ 和 $\sqrt [3]{9}$ 的项，无法进一步化简。

师：整理后的结果如何？写在黑板上。

(生甲在黑板上写下立方后得到的方程

$x^3-3\sqrt{2}x^2+6x-(2\sqrt {2}+3)=0$ )

师：如何进一步化简，将根号全部去除？

生甲：将带 $\sqrt {2}$ 的项全部移动到右边去，再两边平方。

师：很好，同学们都动笔计算一下。

(待学生们基本计算完毕后，教师在黑板上写出最终化简得到的方程 $x^6-6x^4-6x^3+12x^2-36x+1=0$ ，并与学生答案比较验证)

师：现在是一个六次方程了，谁能解这个六次方程？

生乙：应该从最后平方的地方进行考虑，最后的平方之后，未整理之前的式子为 $(x^3+6x+3)^2=(3\sqrt {2}x+2\sqrt {2})^2$ ，因此 $x^3+6x+3=\pm(3\sqrt{2}x+2\sqrt{2})$ 。将正负的式子分别写出，将3移到右边，其余项移到左边，分别得到 $(x-\sqrt{2})^3=3$ 和 $(x+\sqrt{2})^3=3$ ，所以这个方程的六个根分别为 $\sqrt {2}+\sqrt [3]{3}$ , $\sqrt {2}+\omega\cdot \sqrt[3]{3}$ , $\sqrt {2}+\omega^2\cdot \sqrt[3]{3}$ , $-\sqrt {2}+\sqrt [3]{3}$ , $-\sqrt {2}+\omega\cdot\sqrt[3]{3}$ , $-\sqrt {2}+\omega^2\cdot\sqrt[3]{3}$ ,其中 $\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ 是1的三次方根。

师：大家观察一下这六个根，谁能发现其中有什么规律？结合前面的四次方程能总结出什么结论？

生丙：这6个根分别是方程 $x^2-2=0$ 的每个根与方程 $x^3-3=0$ 的每个根之和。

师：很好。事实上，用这样的方法可以构造出以更加复杂的根式的和、差为根，且系数都是整数的方程。我们今天讲的这个问题，放在大学数学中，就是一个数域上的代数元的问题，有理数集对加、减、乘、除(除数不能为0)封闭，它称为一个数域，但是有理数域上的一些方程，例如 $x^2-2=0$ ，它的根不是有理数，这些根就称为有理数域上的代数元。像 $\sqrt {2}$ 就称为2次代数元，因为以它为根的有理系数多项式（方程）的最低次数是2次，类似地， $\sqrt[3]{3}$ 是3次代数元。因为尺规作图能作出任意两条线段的比例中项，我们可以用此来作出任意2次代数元，4次代数元，8次代数元，等等。对于 $\sqrt {2}+\sqrt [3]{3}$

图1 正态分布与组合数分布的比较

(红色线为正态分布 $y=\frac {1}{\sqrt {5\pi}}e^{-\frac {(x-5)^2}{5}}$ 的图形，蓝色线为用描点法画出的 $y=\frac {C_{10}^x}{2^{10}}$

图2 正态分布 $y=\frac {1}{\sqrt{20\pi}}e^{-\frac{(x-20)^2}{20}}$

图3 帕斯卡定理

(1)使用射影几何的证明方法：

过圆心O作一条垂直于圆所在平面上的直线，在其上任取一点S，考虑以S为顶点，该圆为底面的圆锥，用一个与S、P、Q三点确定的平面平行的平面截这个圆锥，得到一个椭圆. 设 $A^\prime$ 是直线SA与平面 $\alpha$ 的交点，同理定义 $B^\prime$ ， $C^\prime$ , $D^\prime$ , $E^\prime$ , $F^\prime$ ,这样 $A^\prime$ $B^\prime$ , $C^\prime$ , $D^\prime$ , $E^\prime$ , $F^\prime$ 都在同一个椭圆上（这实际上是以S为透视中心的中心射影）. 由 $A,B,P$ 共线知 $A,B,P,S$ 共面，故 $A,B,P,S,A^\prime,B^\prime$ 共面，所以 $A^\prime B^\prime //SP$ （因 $SP//\alpha$ ），同理 $D^\prime E^\prime //SP$ ，故 $A^\prime B^\prime //D^\prime E^\prime$ . 同理， $B^\prime C^\prime //E^\prime F^\prime$ .

下面证明 $C^\prime D^\prime //F^\prime A^\prime$ ，即证明：一个椭圆的内接六边形，若两组对边分别平行，则第三组对边也平行. 这可以通过将椭圆的长轴方向“压缩”使椭圆变成一个圆来证明，可用解析几何的方式证明压缩的过程中平行关系保持不变（这个“压缩”实际上是射影几何中以无穷远点为透视中心的中心射影），而圆内同样的结论是显然成立的.

由 $C,D,R$ 共线知 $C,D,R,S$ 共面，故 $C,D,R,S,C^\prime ,D^\prime$ 共面，设此面为 $\beta$ ，同理可假设过 $F,A,R,S,F^\prime ,A^\prime$ 的面为 $\gamma$ . 由 $C^\prime D^\prime//F^\prime A^\prime$ 知 $C^\prime D^\prime //\gamma$ ， $F^\prime A^\prime //\beta$

图4 帕斯卡定理的射影几何证明

上述证明中，第一段和第三段在射影几何中也是显然的，无需这样细致的解释. 也就是说，在射影几何中仅需做两次中心射影变换，即可证明帕斯卡定理.

(2)使用代数几何的证明方法：

建立平面直角坐标系 $xOy$ ，考虑直线 $AB,CD,EF$ 所对应的一次式，将它们乘起来得到一个三次曲线的方程 $f(x,y)$ ；考虑直线 $BC,DE,FA$ 所对应的一次式，将它们乘起来得到一个三次曲线的方程 $g(x,y)$ . 在圆上任取不同于 $A,B,C,D,E,F$ 的一点 $K$ ，设它的坐标为 $(x^\prime,y^\prime )$ . 显然 $f(x^\prime ,y^\prime )$ , $g(x^\prime ,y^\prime )$ 都不等于0，适当选取非零参数 $u,v$ ，使得 $u\cdot f(x^\prime ,y^\prime )+v\cdot g(x^\prime ,y^\prime )=0$ .

设 $u\cdot f(x,y)+v\cdot g(x,y)=h(x,y)$ ，则 $h(x,y)$ 显然不是零多项式（任取 $AB$ 上除 $A,B,P$ 外的任一点 $M:(x_m,y_m)$ ，则 $f(x_m,y_m)=0$ 但 $g(x_m,y_m)\neq0$ ）. $h(x,y)$ 代表一个不超过3次的曲线，但它却与 $ABCDEF$ 的外接圆（这是一个2次曲线）有 $A,B,C,D,E,F,K$ 七个公共零点. 由Bezout定理，代表这两个曲线的多项式一定有公共因式，但代表圆的多项式不可能拆成两个一次因式的乘积（否则将是两条直线而不是圆），所以 $h(x,y)$ 一定是代表圆的多项式再乘上一个一次多项式所得. 注意将 $P,Q,R$ 三点的坐标代入 $f,g$ ，结果都是零，故将它们的坐标代入，结果也是零. 由于 $P,Q,R$ 三点都不在圆上，所以它们必然都是那个一次多项式的零点，这也说明 $P,Q,R$ 三点共线，证毕.

相比射影几何，用代数几何的证明还是需要一个小技巧，即取圆上第七个点 $K$ ，并构造 $f,g$ 的线性组合使其以 $K$ 为零点，这样构造出一个三次曲线与一个二次曲线有 $3\times2+1=7$ 个公共零点，从而恰到好处地使用了Bezout定理.Bezout定理的证明不可能对学生完全讲清，但是3次和2次曲线的特例则可以通过消元降次解方程的方法来说明.

通过讲解帕斯卡定理的高等证明，学生意识到在中学数学中非常有技巧的定理，在高等数学的观点下实际是平凡的，不需要任何花巧的. 高等数学有“重剑无锋，大巧不工”的意境，从而对即将到来的高等数学的学习产生了憧憬和向往.

三、结束语

在高中数学教学中，适时引入高等数学的知识和观点，能让数学优等生看清问题的本质和方向，为他们省去在一些数学问题的不同变式中做大量重复的、机械的练习的时间，将他们从中解放出来. 教师在课堂上适当引入更高的观点，配合信息技术直观地进行展示和讲解，可以让数学优等生体会到数学的美感，提高他们对数学学习的兴趣.

最后，关于实用性的问题，因为现在的科学技术已经发展到了一定的高度，学生在日常生活中基本看不到初等数学的应用，导致很多学生觉得数学纯粹是思维上的操练，学习数学只是为了应付考试. 这样他们容易在无休止的机械训练中产生厌倦情绪. 到了大学以后，很多学生觉得终于可以摆脱数学的学习了，于是不再重视高等数学的学习. 为此，教师可以在课余时间向学生介绍和展示高等数学对社会的重要性. 高等数学的各个分支在各行各业中都有应用，例如：微积分可应用于天文学、力学、化学、工程学、经济学等学科；计算机的算法设计与分析需要组合数学、图论和概率论等等；计算物理中物体的运动、化学反应的稳定状态等等都需要用到微分方程，生物学、经济学中对一些事物的预测需要建立数学模型，应用概率与统计等等.

诚然，在高中数学课堂中对学生引入高等数学，激发学生对高等数学的学习兴趣，是否真的能鼓励数学优等生继续在高等数学上深造，还需要后期的跟踪调查和研究. 本文的内容也只是笔者抛砖引玉的一些见解，还要在不久的将来进行不断的完善.

作者｜付云皓朱华伟郑焕

编辑｜罗承成

排版｜顾欣宇