【初中数学】全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法及例题.

发布于 2021-09-03 15:41 ,所属分类:数学资料学习库

三角形辅助线做法





图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。

线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。

三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。


1.等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题

2.倍长中线:倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形

3.角平分线在三种添辅助线

4.垂直平分线联结线段两端

5.用“截长法”或“补短法”:遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,

6.图形补全法:有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形

7.角度数为30、60度的作垂线法:遇到三角形中的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-60-90的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90的特殊直角三角形,或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。




常见辅助线的作法有以下几种:最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等。

  1. 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形.

  2. 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形.

  3. 遇到角平分线在三种添辅助线的方法,(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.(2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。(3)可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。

  4. 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

  5. 截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.

  6. 已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。

特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答。




01

倍长中线(线段)造全等


例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.


例2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.


例3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD平分∠BAE.


应用:

1、(崇文二模)以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:AMDE的位置关系及数量关系.

(1)如图① 当为直角三角形时,AMDE的位置关系是 ,线段AMDE的数量关系是

(2)将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后,如图②所示,(1)问中得到的两个结论是否发生改变?并说明理由.



02

截长补短


1、如图,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求证:CD⊥AC


2、如图,AD∥BC,EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA,CD过点E,求证:AB=AD+BC。


3、如图,已知在△ABC内,∠BAC=60°,∠C=40°,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是∠BAC,∠ABC的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP


4、如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC,

求证:∠A+∠C=180°


5、如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC

应用:



03

平移变换


例1AD为△ABC的角平分线,直线MN⊥AD于A.E为MN上一点,△ABC周长记为PB,△EBC周长记为.求证PBPA.


例2 如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:AB+AC>AD+AE.




04

借助角平分线造全等


1、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=OD


2、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.

(1)说明BE=CF的理由;(2)如果AB=a,AC=b,求AE、BE的长.


应用:

1、如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:

(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,ADCE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,ADCE相交于点F。请你判断并写出FEFD之间的数量关系;

(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。



05

旋转


例1 正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.


例2 D为等腰斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

(1)当绕点D转动时,求证DE=DF。

(2)若AB=2,求四边形DECF的面积。


例3 如图,△ABC是边长为3的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,以D为顶点做一个60°角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则△AMN的周长为


应用:

1、已知四边形中ABCD,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕点B旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.

当∠MBN绕点旋转到AE=CF时(如图1),易证AE+CF=EF.

当∠MBN绕点旋转到AE≠CF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.




3、在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC. 探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系.



(I)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是 ;此时Q/L=

(II)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DMDN时,猜想(I)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明;

(III) 如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,

若AN=x,则Q= (用x、L表示).








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