初中数学:尺规作图重要知识点+8种典型题解析!

发布于 2021-09-03 16:43 ，所属分类：数学资料学习库



尺规作图规范用语


第一、、用直尺作图的几何语言有三种，分别为：


1、过点x、点x作直线xx;或作直线xx;或作射线xx；

2、过两点xx做线段xx;或连结xx:
3、延长xx到点x;或延长(反向延长)xx到点x，使xx=xx;或延长xx交xx于点x;

第二、用圆规作图的几何语言可总结为四种，分别为：
1、在xx上截取xx=xx:
2、以点x为圆心，xx的长为半径作圆(或弧);
3、以点x为圆心，xx的长为半径作弧，交xx于点x:
4、分别以点x、点x为圆心，以xxxx的长为半径作弧，两弧相交于点x、x.





尺规作图基本步骤


当发现作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件:2能根据题目可以画出要求作出的图形，以及可以列出该图形应满足的条件有哪些:3能根据作图的过程写出每一步的操作过程当不要求写作法时，一般会保留作图痕迹应该注意的是，对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法。




尺规作图典型题分析


典型题1：难度★


如图（a），已知∠AOB和点C、D.求作一点M，使点M到∠AOB两边的距离相等，且与C、D组成以CD为底边的等腰三角形.
【答案解析】因为到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上；而根据题意，点M应满足条件MC＝MD，所以点M又在连结CD所得线段的垂直平分线上.
（1）作∠AOB的平分线OG；
（2）连结CD，作CD的垂直平分线，交OG于点M，如图（b），M就是所要求作的点.
典型题2：难度★
如图，桌面上有黑白两球P、Q，试用尺规在边AD上找出一点，使黑球射向这点后反弹，正好击中白球.
【答案解析】
（1）以P为圆心，适当长为半径作弧，交AD于两点E、F；
（2）分别以E、F为圆心，以同样长（即PE）为半径作弧，在AD的另一侧交于点R（即P关于AD的对称点）；
（3）连结RQ，交AD于点M，M就是所求作的点.
典型题3：难度★★
如图（a），A、B、C三个城市准备共建一个飞机场，希望机场到B、C两市的距离相等，到较大城市A的距离最近，试确定飞机场的位置.
【答案解析】机场到B、C两市的距离相等，则应在线段BC的垂直平分线上；而这条垂直平分线上的点到A的最短距离是点A到这条直线的垂线段的长.
（1）连结BC，作线段BC的垂直平分线l；
（2）过点A作直线⊥的垂线，垂足P，如图（b），点P就是飞机场的位置
典型题4：难度★★
如图（a），已知线段a、b和∠AOB，C是边OB上一点，求作点M，使M到OA的距离为a，到点C的距离为b.
【答案解析】
（1）在OA上任取一点D，过D作OA的垂线l；
（2）在⊥上截取DE＝DF＝a，过E、F作l的垂线l1、l2；
（3）以C为圆心，b为半径作弧，与直线l2相交于点M1、M2，如图（b），则点M1、M2都是所要求作的点.
典型题5：难度★★
如图（a），已知线段a、b，求作△ABC，使BC＝a，AB＝b，∠C＝90°.
【答案解析】
（1）作线段BC＝a；
（2）过点C作CD⊥BC；
（3）以B为圆心，b为半径作弧，交CD于点A；
（4）连结BA，如图（b），△ABC就是所求作的三角形.
典型题6：难度★★
如图（a），已知线段a，∠a，求作△ABC，使∠C＝90°，∠A＝∠a，AB＝a.
【答案解析】
（1）作∠DAE＝∠a；
（2）在AD上截取AB＝a；
（3）过点B作BC⊥AE于C，如图（b），△ABC即所求作的三角形.
典型题7：难度★★
已知等腰三角形的底角及底边上的中线，求作这个等腰三角形。
【思路方法】根据等腰三角形的性质,底边上的高就是底边上的中线由题意,本题中等腰三角形被底边上的高所分成的两个直角三角形中,一个锐角和—条直角边已知,可以先予作出,进而得到所需的等腰三角形.这种通过分析,先以图形中某一部分容易作出的三角形为基础的作图方法,通常称作三角形奠基法.
【答案解析】已知等腰三角形底边上的中线m，底角∠a，如图（a），作法如下：
（1）作∠EDF＝90°，在DE上截取DA＝m；
（2）以AD为一边，作∠DAB＝90°－∠a，另一边交DF于点B；
（3）在BD延长线上截取DC＝BD，连结AC，如图（b），△ABC就是所求作的三角形.
典型题8：难度★★★
已知三角形的两边及其中一边上的中线，求作三角形.
【答案解析】如图（a），已知线段a、b、m，要求作出△ABC，使AB＝a，BC＝b，BC边上的中线AD＝m.
根据题意，△ABD的三边已知，可以先确定这一三角形的三个顶点，进而作出所要求作的三角形。
（1）作BC＝b，取BC的中点D；
（2）以点B为圆心，a为半径作弧，以D为圆心，m为半径作弧，两弧相交于点A；
（3）连结AB、AC，如图（b），即得到所求作的△ABC.



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