数列规律 预习复习冲刺

找简单数列的规律

日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如：

自然数：1，2，3，4，5，6，7，… （1）

年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996 （2）

某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）

45，45，44，46，45 （3）

像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，…，第n个数就称为第n项.如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是46，第5项45。

根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列。

研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性，以作为解决问题的依据，本讲将从简单数列出发，来找出数列的规律。

例1观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.

　　①2，5，8，11，（），17，20。

　　②19，17，15，13，（），9，7。

　　③1，3，9，27，（），243。

　　④64，32，16，8，（），2。

　　⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34…

　　⑥1，3，4，7，11，18，（），47…

　　⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）.

　　⑧1，2，6，24，120，（），5040。

　　⑨1，1，3，7，13，（），31。

　　⑩1，3，7，15，31，（），127，255。

　　(11)1，4，9，16，25，（），49，64。

　　(12)0，3，8，15，24，（），48，63。

　　(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.

　　(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.

分析与解答

　　①不难发现，从第2项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于3.因此，括号中应填的数是14，即：11＋3=14。

　　② 同①考虑，可以看出，每相邻两项的差是一定值2.所以，括号中应填11，即：13—2=11。

　　不妨把①与②联系起来继续观察，容易看出：数列①中，随项数的增大，每一项的数值也相应增大，即数列①是递增的；数列②中，随项数的增大，每一项的值却依次减小，即数列②是递减的.但是除了上述的不同点之外，这两个数列却有一个共同的性质：即相邻两项的差都是一个定值.我们把类似①②这样的数列，称为等差数列.

　　③1，3，9，27，（），243。

　　此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：3=1×3，9= 3×3， 27=9×3.因此，括号中应填 81，即 81= 27×3，代入后， 243也符合规律，即 243＝81×3。

　　④64，32，16，8，（），2

　　与③类似，本题中，从第1项开始，每一项是其后面一项的2倍，即：

　　因此，括号中填4，代入后符合规律。

　　综合③④考虑，数列③是递增的数列，数列④是递减的数列，但它们却有一个共同的特点：每列数中，相邻两项的商都相等.像③④这样的数列，我们把它称为等比数列。