【数学】每日一学---?导数的概念及运算

导数的概念及运算

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1.了解导数概念的实际背景． 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x1，y＝的导数． 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数． 5.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，了解微积分基本定理的含义.	导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.

1．导数的概念

(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x₀处的瞬时变化率是limΔx→0ΔxΔy＝limΔx→0Δxf(x0＋Δx)－f(x0)，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x₀处的导数，记作f′(x₀)或，即f′(x₀)＝limΔx→0ΔxΔy＝limΔx→0Δxf(x0＋Δx)－f(x0).

(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数．简称导数，记作f′(x)或y′.

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x＝x₀处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x₀，f(x₀))处的切线的斜率k，即k＝f′(x₀)．

3．基本初等函数的导数公式

基本初等函数	导数
f(x)＝c(c为常数)	f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)	f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x	f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x	f′(x)＝－sin x
f(x)＝ex	f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0)	f′(x)＝axln a
f(x)＝ln x	f′(x)＝x1
f(x)＝logax(a>0，a≠1)	f′(x)＝xln a1

4.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．

(3)g(x)f(x)′＝[g(x)]2f′(x)g(x)－f(x)g′(x)(g(x)≠0)．

5．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y_x′＝y_u′·u_x′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

6．定积分的性质

(1)ʃabkf(x)dx＝kʃabf(x)dx(k为常数)；

(2)ʃab[f₁(x)±f₂(x)]dx＝ʃabf₁(x)dx±ʃabf₂(x)dx；

(3)ʃabf(x)dx＝ʃacf(x)dx＋ʃcbf(x)dx(其中a<c<b)．

7．微积分基本定理

一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃabf(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．

为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)|ab，即ʃabf(x)dx＝F(x)|ab＝F(b)－F(a)．

概念方法微思考

1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？

提示|f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭．

2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？

提示　不一定．

3．ʃabf(x)dx的值是否总等于曲线f(x)和直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积？

提示　不是．函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≥0时，定积分ʃabf(x)dx的值才等于由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．