2013年初中数学竞赛题解题思维精讲

题目：

如图，△ABC中，AC=BC，点P是边AB上任意一点，点Q是AB延长线上任意一点，过点P分别做PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，过点Q分别做QF⊥AC于F，QG⊥BC于G，求证：PD+PE+QG=FQ；

题目倒也不难，本来是一道填空题，让判断PD+PE+QG和FQ之间的关系，这里直接给出了结论，让大家来证明。

分析：

根据题干和图形可知，PD和FQ是平行的，但是PE和QG这两个线段是斜着的，所以第一眼不好判断，而对于线段和等于一条长线段的题型，我们经常用的是截取、拼接方法，然而这道题如果选择在FQ上截取出和三条短线段相等的线段出来，好像也想那么回事，不妨试试；

如果我们过P向FQ作垂线，过B向FQ也做垂线，将FQ分成三段，那么确实可以将PD和QG转换到FQ上，但是中间一段如何证明其与PE相等呢？好像不是太容易，但是你如果真有魄力，可以自己好好深入研究一下，说不定真的可以证明出来。

那么我们今天不选用线段截取，改用另一种方法。先来说一说，

△PDA、△PBE、△QBG三者相似，相信同学们能够观察出来吧，而PD、PE、QG分别是三个△的长直角边，这样不就符合同样的比例吗，即PD=nPA，PE=nPB，QG=nBQ，三者相加不就是线段和吗，而PA、PB和QG拼接不就是PQ吗，而FQ和PQ不也是这种关系吗？所以就可以下结论了呗。

证明：

∠A=∠ABC=∠QBG，

∠ADP=∠PEB=∠QGB=∠QFA=90°

∴△PDA∽△PEB∽△QGB∽△QFA

∴PD/PA=PE/PB=QG/QB=FQ/AQ

本来这道题是可以利用三角函数来解决的，但是怕现在有些同学还没有学到三角函数，所以我们用相似比例以及倍数来代替，

即假设PD/PA=PE/PB=QG/QB=FQ/AQ=n

则PD=nPA，PE=nPB，QG=nBQ，FQ=nAQ

PD+PE+QG=n（PA+PB+BQ）=nAQ=FQ，

结论成立；

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