2分钟解决这道初中数学竞赛题的思路（稍难）解题思维精讲

题目

如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠ABC=120°，AM、BN分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：AB+AN=AM+BM；

这道题老师也没做过，以前分享了很多道竞赛题了，所以书都翻了很久才翻到这一题，为什么选这道题？一些同学在遇到这种线段和的问题时可能会经常懵逼，不知道怎么让它们组合，尤其是八竿子打不着的两个线段，非要给它整到一块去，咋一看就是乱点鸳鸯谱呗。所以今天我们来学习这道题的解决方法。

该题建议九年级的同学学习，鉴于目前八年级同学的学习进度，可能很多教材版本都没有学到这道题需要用到的一些知识点，但是如果够聪明，也会想到将其转换到目前所学的知识运用上。

解析：

首先这道题只有两个角度和两条平分线，而且三角形也不是特殊三角形，而且让求和的线段更是拐弯抹角，但是，遇到线段和一定不要慌，这又不是让求最小值玩对称的，只是两组线段和相等的问题，很容易能想到拼接。关键问题来了，谁拼到哪里就是解决的方法了。

这个时候角度就要派上用场了，一个40°，一个120°，除了120°能够想到用补角兑换60°可等边，那个40°还真不容易利用。

那么不妨先观察一下AB+AN和AM+BM都是啥玩意吧

AB和AN共端点A，

AM和BM共端点M，

可以联想如果将两组线段都进行旋转，

比如让AB和AN相反方向，AM和BM相反方向，就能凑出完整的线段来证明了

那么该如何让它们转到方向相反呢？

刚好我们知道∠BAN是40°，而且还能计算出来∠AMB=40°，

所以AB旋转到与AN反向只需要顺时针转140°，

BM旋转到与AM反向只需要逆时针转140°，

如此将结论中的两个线段和转变为两条直观的线段就会容易多了。

那么，思路清晰了，开始解决问题吧。

解答：

将AB绕点A顺时针旋转140°至AE，则A、E、N共线

将BM绕点M逆时针旋转140°至DM，则A、M、D共线

顺便连接BE和BD

则AB+AN=EN，

AM+BM=AD

只要证明EN和AD相等即可；

然而两个线段的位置也是比较奇葩，所以直接证明好像不太容易，那么观察现在的图形，四边形EBDA很像是平行四边形吧

我们可以计算出∠E=20°，∠D=20°，

而∠BAE和∠DBE都可以通过计算得到是160°，

嘿嘿，两组对角分别相等的四边形不就是平行四边形吗？

所以四边形EBDA是平行四边形，

则AD=EB，

（如果是八年级的同学还没学到平行四边形，可以利用三角形全等解决）

现在只需要证明EB和EN相等即可，

刚好它们在同一个三角形中，如果是等腰就OK了

∠EBN可以知道是20°+60°=80°，

同时∠E=20°，

所以∠ENB也是80°，

那么△EBN为等腰，即EB=EN

又AD=EB

所以AD=EN

同时又AD=AM+BM

EN=AB+AN

所以AB+AN=AM+BM