求导法则,缘何而来?

引言

导数，是数学中非常重要的一部分。高中的时候，高考数学的难题往往就和导数相关，而基本初等函数的求导，则是求解复杂的初等函数的导数的基石。我们知道对一个初等函数，它的导数的定义是：

我们当时利用这个定义，展现了的求导：

然而，当我们再学其他基本初等函数的导数（指对幂函数，三角函数）的时候，数学课本上突然就略去了这个过程，而是直接给出了结论。我们似乎也是将这些结论背下来的，而没有真正理解它的内涵。

难道这些求导规则都是凑的？编的？没有依赖于导数的定义？

当然不可能！这篇文章的目的，就是把这一环补上。

函数的四则运算与复合函数求导法则

设，为的函数，为的函数，在变化了时，, 和分别变化了, 和。则：

（1）加减法求导法则为：

(2) 乘法求导法则为：

(3) 除法求导法则为：

(4) 复合函数的求导法则为：

诶等等……为什么要扯这些？不是要扯基本初等函数求导法则的吗？

哈哈，原因有两个：

• 这些规则只利用了导数的定义，没有利用任何函数的求导结果
• 后面我们将看到，所有基本初等函数的求导就是借助这些规则加上少数的函数的求导结果形成的。而那少数函数的求导，可以完全借助导数的定义进行。

因此，我们最终的目的就是向大家展示，「从导数定义出发，所有基本初等函数的导数都是从导数定义求出来的，而不是背下来的！」

三角函数求导：用几何说话

“小角近似”，yyds

相信无论是搞过高中物理竞赛的小伙伴还是大学学过高等数学的小伙伴，一定对下面这个近似非常熟悉：当

图中，弧AB是以O为圆心，半径为的圆弧。设O点处的角大小为（弧度制），则AB弧长显然为。过B作OA的垂线BH，显然BH长为。过A点作OA的垂线（也就是圆弧的切线）并交OB所在直线于C点，显然AC长为。而时，AB的弧度越来越小，弧AB和线段BH以及线段AC越来越趋近于重合，从而它们的长度也应该越来越“一致”，从而。用更专业的说法，应该写成：

这两个关系统称为小角近似。本文中，利用前一个关系就够了。

从正弦函数到所有三角函数

我们先来尝试求解正弦函数的导数：

从而：

借助正余弦的导数，正切函数的导数为：

至此，（高中阶段的）三角函数求导完成。

指对幂函数求导：从常数e到求导法则

常数，何方神圣？

我们在高中数学的一开始就学过，是一个非常重要的科学常数。它的值为，是一个无理数。我们在高中时，没有对这个常数做非常深入的讲解，只是简单提了一句：

我们知道，极限这个概念，是高等数学的基础。而我们在刚开始学高等数学的时候，就一定接触过下面这个重要的数列：

学过高等数学的小伙伴一定知道，这个数列有极限。还记得我们是怎么证明的吗？

咱不妨复习一下：首先，根据二项式定理：

那么：

• 由于显然随着的增大而递增，所以对于任意给定的，都随递增。不仅如此，随着的增大，参与加和的项还在越来越多。因此，单调递增。
• 时，显然有。另一方面，也是很显然的（因为每一个参与乘法的项都在0到1之间）。从而，。

可见，数列单调递增又有上界，因此它的极限必然存在。而常数的定义，就是这个数列的极限。也就是说：

这里我用三横代替等号，以强调这是定义。

那，我们高中时候看到的那个阶乘的表达式是咋回事呢？它和上面的定义是否等价呢？

我们还是从下面这个式子出发：

首先，，从而

当然，利用时容易证明是有限值。而另一方面，对于任意给定的，当足够大时，

而是有限值，从而：

由此可见，

因而，这两种定义方法是等价的。

向看齐！

刚才，我们已经证明了，数列是的忠实粉丝。那么，还有什么也要和套近乎呢？多了去了。这里指出几个对下面有用的：

(1)设，则

(2)设，则

(3)设，且。则

（4）设。当时，设满足。 那么，根据可知：

用类似的方法可以证明：设，则

扯了半天，只为自然对数求导

通过上面的讨论，想必大家对常数一定有了一个更深刻的认识。现在，我们对自然对数函数用导数的定义求导：

设。可见：

老天！原来我们是这样得到的！如果我们仔细回味的话，「我们使用了这一性质。而这个性质的得到，追根溯源是依赖于的定义式：。」(，请注意我又一次使用了三横)。换句话说：

「因为我们是那样定义的，所以我们有这一关系！」

现在，我们可以求出一般的指对幂函数的导数了~

根据函数的乘法以及复合函数的求导法则：

(1) 设。则：

(2) 设。则：

其中，

（3）设，，则：

若