高中数学------考点46 与三角函数相关的综合问题

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【基础回顾】

设向量a=(x₁，y₁)，b=(x₂，y₂)，向量a与b的夹角为θ，则
a//b⇔x₁y₂=x₂y₁；
a⊥b⇔a•b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

【技能方法】

1.三角函数与向量
　　向量背景下的三角函数的研究主要指的是所给向量的坐标用三角函数表示，以向量的数量积构造三角函数，并且进一步对所得三角函数进行研究．其中向量仅仅在其中起到的是给命题带“帽子”的作用．
　　例1.【2015 广东】在平面直角坐标系xoy中，已知向量
（1）若，求tanx的值；
（2）若与的夹角为，求x的值．
【解析】
　　



　　（2）由（1）知



【点评】
　　本题主要考查向量数量积的坐标运算，两角和差公式的逆用，知角求值和知值求角等问题以及运算求解能力，属于中档题，解答本题关键在于由向量的垂直及其坐标运算得到三角函数关系式.

2. 三角函数与零点
函数零点个数的判断方法：
　(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
　(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)•f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
　(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
　　例2. 【2015 湖北】函数的零点个数为______．
【答案】2
【解析】
　　
　　=2(1+cos)sinx-2sinx-|ln(x+1)|
　　=sin2x-|ln(x+1)|
　　所以函数f(x)的零点个数为函数y=sin2x与y=|ln(x+1)|图象的交点的个数，
　　函数y=sin2x与y=|ln(x+1)|图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，
　　所以函数f(x)有2个零点.

【点评】
　　本题主要考查二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点.数形结合思想方法是高考考查的重点. 已知函数的零点个数，一般利用数形结合转化为两个图象的交点个数，这时图形一定要准确。这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.由“数”想图，借“图”解题.

3. 三角函数与逻辑
　　判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．
　　例3. 【2015 陕西】“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（　　）
　A.充分不必要条件
　B.必要不充分条件
　C.充分必要条件
　D.既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
　　由cos2α=0得cos²x-sin²x=0，
　　即(cosα-sinα)(cosα+sinα)=0，
　　所以sinα=cosα或sinα=-cosα，故选A .
【点评】
　　本题主要考查三角恒等变换和命题的充分必要性，采用二
倍角公式展开cos2α=0，求出sinα=cosα或sinα=-cosα.2.
本题属于基础题，高考常考题型.

4. 新定义
　　新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.
　　例4. 定义运算.若则β等于(　　)
　　　　
　　　　
【答案】D
【解析】
　　依题意有
　　
　　
　　
　　于是sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)

　　
【点评】
　　本题主要考查两个角的和、差的正弦公式，同角三角函数间的关系，三角变换的核心是角的变换，常见的角的变换：
15º=45º-30º=60º-45º，α=(α+β-β)，



五．三角函数的实际运用
　　三角函数在实际生活中，有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。因而三角函数解决实际问题应用极广、渗透能力很强.
　　例5.【2014 浙江】如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP与平面ABC所成的角），若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30º，则tanθ的最大值是（　　）

　　　　
　　　　
【答案】D
【解析】
　　由勾股定理知，BC=20，过点P作PP′⊥BC交BC′于P′，连结AP′，
　　依题意，取最大值，点p′在点B的左边，
　　则，设BP′=x(x＞0)，
　　因为∠BCM=30º，
　　在Rt△APP′中，
　　在Rt△APP′中由勾股定理得
　　
　　
　　
　　所以tan²θ的最大值为，即tanθ的最大值是
【点评】
　　本题主要考查三角函数在实际生活中的运用，考查直角三角形中三角函数的定义，勾股定理，二次函数，最值.这类问题往往概念性较强,具有一定的综合性和灵活性.

【基础达标】

1.已知函数在上有两个零点，则m的取值范围是(　　)
　A．(1，2)　　　B．[1，2)
　C．(1，2]　　　D．[1，2]
【答案】B
【解析】
　　利用三角函数公式转化一下，
　　得
　　它的零点是函数和y₂=m的交点所对应的x的值，
　　所以要在上有两个零点，y₁和y₂就要有两个交点，
　　结合函数在上的图象，知当y₂=m在[1，2)上移动时，两个函数有两个交点．

2.【2015•天津南开模拟】当时，函数
的最小值是(　　)
　　　　
　C．2　　　D.4
【答案】D
【解析】
　　当时，0＜tanx＜1，

设t=tanx，则0＜t＜1，
，当且仅当t=1-t，
即时，等号成立．

3.【2015 北京101中学期中】函数的定义域是______.
【答案】

【解析】

所以cos＞0，

所以函数的定义域为：

4.【2015 天津南开中学月考】已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量．若，且acosB+bcosA=csinC，则角B=______．
【答案】
　　
【解析】
　　
　　由正弦定理及acosB+bcosA=csinC得sinAcosB+sinBcosA=sin²C
　　因为A+B+C=π，
　　所以sinC=sin²C，所以sinC=1，所以
　　所以

5.已知向量，其中
　（1）若|a-b|=2，求x的值；
　（2）设函数f(x)=a•b，求f(x)的值域．
【解析】
　
（1）因为



（2）因为





所以f(x)的值域为

【能力提升】

1.【2014 全国1】如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为（　　）

【答案】B
【解析】
　　由条件可知|OM|=|cosx|，y=|OM|sinx=sinx|cosx|=|sin2x|，对应函数的最大值为,再由变化趋势只能选B.

2. 【2015 江苏省泰州中学、扬州中学、靖江中学联考】
设平面向量
　（1）若，求cos(2x+2α)的值；
　（2）若α=0，求函数的最大值，并求出相应的x值．
【解析】
　（1）若，则，
　　即cosxsinα+sinxcosα=0，sin(x+α)=0
　　所以cos(2x+2α)=1-2sin²(x+α)=1.
　（2）若α=0，
　　
　　

3.【2014 湖北】某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位:h）的变化近似满足函数关系:
　（1）求实验室这一天的最大温差；
　（2）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
【解析】
　（1）因为
　　
　　因为0≤t≤24，
　　所以
　　当t=2时，
　　于是f(t)在[0，24）上取得最大值12,取得最小值8.
　　故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.

　（2）依题意，当f(t)＞11时，实验室需要降温.
　　由（1）得
，
　　
　　
　　又0≤t＜24，因此
　　即10＜t＜18.在10时至18时实验室需要降温.

4.【2015 如东中学模拟】设△ABC的面积为S，且
　（1）求角A的大小；
　（2）若，且角B不是最小角，求S的取值范围．
【解析】
　（1）设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
　　，
　　
　　
　　
　（2）因为，由正弦定理，得
　　所以b=2sinB，c=2sinC，
　　所以
　　
　　
　　又因为，B不是最小角，
　　所以
　　所以

5.【2014 湖南省六校4月】已知
　（1）将y表示成x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期；
　（2）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，若f(B)=3，，求边长b．
【解析】
　
　　
　　
　　
　　所以函数f(x)的最小正周期为π.
　（2）由f(B)=3得解得
　　又由，知，所以
　　由余弦定理知：
b²=a²+c²-2accosB=(a+c)²-2ac-2accosB

　　所以

【终极突破】

1.【2015 吉林市一中3月】函数f(x)=xsinx，若f(x₁)＞f(x₂)，则下列不等式一定成立的是（　　）
　　　　B．x₁+x₂＞0
　C．x₁＞x₂　　　　
【答案】A
【解析】
　　因为函数f(x)=xsinx，所以函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，且f′(x)=sinx+xcosx=cosx(tanx+x)，因为，所以cosx≥0，构造函数g(x)=tanx+x，
　　所以，所以g(x)在上单调递增，
　　所以，即0≤g(x)，
　　所以f'(x)＞0在上恒成立，
　　所以f(x)在上单调递增，
　　所以f(x)在上单调递减，若x₁，都有f(x₁)＞f(x₂)，则有x₁＞x₂，所以选项C不正确；
　　若x₁，，都有f(x₁)＞f(x₂)，则有x₁＜x₂，所以选项B，D都不正确；因为，f(x₁)＞f(x₂)，所以，所以选项A正确，故应选A.

2.【2015 江西省五校联考】设等差数列{a_n}满足：，公差d∈(-1，0)，若当且仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，则首项a₁的取值范围是（　　）
　　　
　　　
【答案】D
【解析】
　　
得
　　
　　
　　由积化和差公式得：
　　
　　由于{a_n}是等差数列，所以a₆+a₃=a₄+a₅，a₆-a₃=3d，
　　所以化简得sin(3d)=-1，因为d∈(-1，0)，所以3d∈(-3，0)，
　　
　　
　　对称轴方程为
　　由题意当且仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取最大值
　　所以解得，故答案为D.

3.【2015惠安一中、养正中学、安溪一中期中】对于函数，有下列4个命题：
　①任取x₁，x₂∈[0，+∞)，都有|f(x₁)-f(x₂)|≤2恒成立；
　②f(x)=2kf(x+2k)(k∈N^*)，对于一切x∈[0，+∞)恒成立；
　③对任意x＞0，不等式恒成立，则实数k的取值范围是
　④函数y=f(x)-ln(x-1)有3个零点；
　　则其中所有真命题的序号是______．
【答案】①④
【解析】
　①：显然，当x∈[0，+∞)时，，所以对于x₁，x₂∈[0，+∞)，|f(x₁)-f(x₂)|≤f(x)_max-f(x)_min=2，所以①正确；
　②：因为
　　所以，k∈N^*，所以②错误；
　③：画出f(x)的图象，从而可知，若要使，只需对于任意的n∈N^*恒成立，从而问题等价于求数列的最大项，

　　所以，所以③错误；
　④画出f(x)的图象g(x)=ln(x-1)的图象如图所示，则可知，从而两个函数图象有三个交点，即函数y=f(x)-ln(x-1)有3个零点，所以④正确.


4.【2015 南昌二中模拟】已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量
（1）若，求角B的大小；
（2）若，边长c=2，求△ABC的面积的最大值．
【解析】
　（1）因为，所以acosB=bsinA，
　　所以2RsinAcosB=2RsinBsinA，
　　所以cosB=sinB，
　　所以tanB=1，
　　因为B∈(0，π)，所以
　（2）由得a+b=4，
　　由基本不等式得（当且仅当a=b=2时等号成立），
　　
　　所以
　　从而（当且仅当a=b=2时取等号），
　　于是
　　即当a=b=2时，△ABC的面积有最大值

5.【2015 江苏省扬州中学模拟】一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG和外壁BC都是半径为1m的四分之一圆弧，AB，DC分别与圆弧BC相切于B，C两点，EF//AB，GH//CD且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m.
　（1）若水平放置的木MN的两个端点M，N分别在外壁CD和AB上，且木棒与内壁圆弧相切于点P设∠CMN=θ(rad)，试用θ表示木棒MN的长度f(θ);
　（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．

【解析】
　（1）如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD的垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线于S，并连结PQ，再过点N作TQ的垂线，垂足为W，
　　在Rt△NWS中，因为NW=2，∠SNW=θ，所以
　　因为MN与圆弧FG切于点P，所以PQ⊥MN，
　　在Rt△QPS中，因为PQ=1，∠PQS=θ，
　　所以
　①若M在线段TD上，即S在线段TG上，则TS=QT-QS，
　　在Rt△STM中，
　　因此
　②若M在线段TD上，即若S在线段GT的延长线上，
　　则TS=QS-QT ，
　　在Rt△STM中，
　　因此
　　
　　
　（2）设sinθ+cosθ=t，则
　　因此．因为
　　又，所以g'(t)＜0恒成立，
　　因此函数在是减函数，
　　所以
　　即
　　所以一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为